Федеральное агентство по образованию

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

Факультет Информационные системы в управление

Специальность КОИБАС

Кафедра Информационная безопасность

Пояснительная записка

к курсовой работе

по дисциплине Вычислительная математика и программирование

Методы численного решения систем нелинейных уравнений

Выполнил:

студент группы БИ06-И2

Кобков В.А.

Руководитель: Епифанцева М. Я.

Омск - 2008 г.

Содержание

1. Графическое отделение корней 3

1.1 Графическое решение 4

2. Обзор методов решения систем нелинейных уравнений 5

2.1 Решение систем нелинейных уравнений 5

2.1.1 Метод простых итераций 6

2.1.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона 7

2.1.3 Определение матрицы Якоби 9

3. Разработка и отладка программы 9

9

4. Блок-схема рабочей программы 10

5. Листинг программы 14

6. Решение контрольного примера 16

7. Список литературы 17

Аннотация

Программа разработана для решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Зейделя и простой итерации.

Метод Зейделя является частным случаем, метода простой итерации. Точность данных методов e= 0,001. Программа разработана на языке Borland Pascal 7.0

1.Графическое отделение корней

Решение уравнения f_n(x_n)=0 из системы уравнений F(x_n)=0 состоит из двух этапов:

1) Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен ровно один корень системы уравнений.

2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью.

Отделение корней можно произвести графически. [2]

Дана система нелинейных уравнений

Необходимо построить графики этих функций, далее преобразуем систему для решения

Проверяем условие сходимости

Находим:

Определяем область сходимости G. [5]

Граница области сходимости определится при решении системы, полученной в ходе предыдущих действий. На графике уравнений строим область сходимости G.

Выбираем начальную точку , принадлежащую области сходимости G. Используя выбранную начальную точку, решаем заданную систему нелинейных уравнений.

1.1Графическое решение

Кривые, определяемые уравнением (*) изображены на рис. (1а). Эти кривые пересекаются в двух точках ξ₁ и ξ₂. Возьмем в качестве начального значения (графическое решение) . [3]

(1а)

2. Обзор методов решения систем нелинейных уравнений

2.1 Решение систем нелинейных уравнений

Дана система нелинейных уравнений

(1)

или

Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор, удовлетворяющий системе (1) с точностью.

Вектор определяет точку в n-мерном Евклидовом пространстве, т.е. этому пространству и удовлетворяет всем уравнениям системы (1).

В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений неизвестны прямые методы решения. При решении систем нелинейных уравнений используются итерационные методы. Эффективность всех итерационных методов зависит от выбора начального приближения (начальной точки), т.е. вектора.

Область, в которой начальное приближение сходится к искомому решению, называется областью сходимости G. Если начальное приближение лежит за пределами G, то решение системы получить не удается.

Выбор начальной точки во многом определяется интуицией и опытом специалиста. [5]