Федеральное агентство по образованию РФ

Белгородский Государственный университет

Кафедра информатики и вычислительной техники

Курсовая работа на тему:

«Приближение функций»

Белгород 2007

Содержание

Введение

1. Постановка задачи приближения функции

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

3. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

   1. Первая интерполяционная формула Ньютона

   2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

4. Итерационный метод интерполяции (по Эйткену)

5. Программная реализация методов в среде Mathcad

Заключение

Литература

Введение

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико­-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)(х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х², …, хⁿ, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos a_ix, sin a_ix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e^-az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Наша задача состоит в том, чтобы по таблице значений х и у построить приближающую функцию. Для этого воспользуемся методами Лагранжа, Ньютона и Эйткена. Потом сравним полученные результаты, отметим достоинства и недостатки, сделаем выводы.

1. Постановка задачи приближения функции

Пусть известные значения некоторой функции f образуют некоторую таблицу:

Таблица 1.1

			…
			…

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок [; ], но не совпа­дает ни с одним из значений , (i=0,1, ..., п).

Очевидный прием решения этой задачи — вычислить значение f(x), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием, однако, можно применить лишь в случае, когда ана­литическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, часто аналитическое выражение функции вовсе неизвестно. В этих случаях применяется особый прием — построение по ис­ходной информации (табл. 1.1) приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выра­жением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что

f(x)=F(x). (1.1)

Классический подход к решению задачи построения прибли­жающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(х) и F(x) в точках , (i=0,1, ..., п ), т. е.

F () = , F () = , …, F () = (1.2)

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки , …, узлами интерполяции.

Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде много­члена степени п:

(x)= + + … + x+ (1.3)

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предпо­лагать, что n+1 условия (1.2), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для (x) выполнения условий (1.2), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:

= , (i=0,1, ..., п).

Решая эту систему относительно неизвестных , …, , мы и получим аналитическое выражение полинома (1.3). Система (1.4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель

. . . . . . . . . . . . . . . . .

известный и алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен (x)для функции f, заданной таблицей 1.1, существует и единствен (может случиться, что какие-то коэффициенты в (x), в том числе и равны нулю; поэтому интерполяционный полином при рассмот­ренных условиях в общем случае имеет степень, не большую, чем n).

Описанный прием в принципе можно было бы использовать и для практического решения задачи интерполирования многочле­ном, однако на практике используются другие, более удобные и менее трудоемкие способы.