- •1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области).
- •2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае
- •3.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае независимых переменных.
- •4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
- •5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
- •6. Уравнения колебания струны
- •7.Малые продольные колебания упругого стержня
- •8.Малые крутильные колебания вала.
- •9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.
- •10. Уравнение колебания мембраны
- •11. Уравнение теплопроводности
- •12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
- •13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.
- •14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа
- •15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.
- •16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
- •18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
- •19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
- •20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
- •22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
- •23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
- •24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
- •25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
- •26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
- •27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
- •28.Радиальные колебания круглой мембраны.
- •29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
- •30.Уравнение эллиптического типа.
- •31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
- •33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
- •34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
- •35. Интегральное представление произвольной функции
- •36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
- •37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.
- •38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
- •39. Функция Грина в задаче Дирихле.
- •40.Функция Грина в задаче Неймана.
- •41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара
- •42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
- •43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
- •44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.
- •45. Единственность решения задачи Неймана.
- •46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
- •47. Свойства объемного потенциала
- •48. Свойства потенциала простого слоя
- •49.Свойства потенциалов двойного слоя.
- •50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
Б удем рассматривать линейное ур-ние 2-го порядка. Любое линейное ур-ние можно записать в виде:L[n]= (1)
В пространстве зададим незамкнутую без самопересечений поверхность Γ ур-нием g( )=0
Причем будем считать что ф-ция g является дважды непрерывно дифференцируемой: g( и считаем такие, что grad :
grad g( )=( ).Обозначим через часть поверхности Γ, лежащей в области D,т.е. .
Будем предполагать, что область D с поверхностью Γ разбиваеться на две подобласти D(1) и D(2).На поверхности зададим два условия на неизвестную функцию U(x) удовлетворяющую уравнению 1: (2)
Функции 𝞿 и 𝟁 считаються замкнутыми ,n-единичная длина поверхности.
Условие 2 наз.начальными условиями. Таким образом требуется найти функцию U∊ ,которая удовлетворяет ур-нию 1 в области D и начальным условиям 1 на поверхности .В частности, если поверхность Γ являеться плоскость ,то начальное условие принимает вид:
Функция удовлетворяющая уравнению 1 и начальным условиям 2 наз.классическим решением задачи Коши. Отметим что не для всех функций 𝞿 и 𝟁 такое решение существует: ,f(x,y)= то существует решение y= если f(x,y) аналитическая.
Если коэффициенты , ,с и функция f(x,y) являються формулами аналитическими в окружности точки , а начальные функции 𝞿 и 𝟁 также аналитические то существеут некоторая окрестность точки ,в которой решение задачи 1 и 2 существует, при этом оно единственно в классе аналитических функций.
5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
Задача считается корректно поставленной, если:
решение этой задачи существует;
решение должно быть единственным;
решение должно быть устойчиво
Приведем пример задачи, не корректно поставленной.
- не корректно поставленная задача.
Приведем пример задачи, в которой нарушается устойчивость решений (пример Адамара).
Рассмотрим задачу :
и - некоторые известные функции.
Пусть - решение задачи. Рассмотрим еще одну задачу:
Пусть - решение этого уравнения. Составим разность тогда - решение задачи
при
Найдем решение задачи для функции в виде
, - задача Коши для лин. уравнения с пост.коэф.2 – го пор.
.
Таким образом,
Малые изменения начальных данных привели к большой разности решений.
6. Уравнения колебания струны
П од струной мы будем понимать упругую нить, не сопротивляется изгибу.
Будем считать колебания струны малыми. Малость колебаний означает, что квадратами величин отклонения точек струны от равновесия и квадратами производных по можно пренебречь. В положении равновесия струна совпадает с осью . При возмущении точек струны будут отклоняться от этой оси. Величину этого отклонения обозначим через .
В ыделим участок струны заключенный между и . В положении равновесия длинна этого участка . Выведем этот участок из положения равновесия и посчитаем длину АВ
В процессе колебаний длина невозмущенного участка струны не изменяется.
В силу закона (удлинение пропорционально приложенной силе) приходим к выводу, что в процессе колебаний сила натяжения струны не меняется.
Обозначим T(x) сила натяжения в точке струны с координатой . Выделим участок струны - линейная плотность струны.
Если мы зафиксируем точку х, тогда дает закон движения точки х. -скорость движения, -ускорение, .
Обозначим через величину силы, приложенную в точки х в момент времени t. Считают что эти силы расположены в плоскости XU и параллельны оси U.
-силы натяжения точек струны, найдем теперь проекцию сил натяжения на ось U.
уравнения колебаний струны.
Если струна однородная, то
. Тогда