12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.

Будем рассматривать задачу:

Решение задачи (1)-это сумма двух задач:

(2)

(3)

Найдем общее решение з-чи (2):

(*)

Замена: , .

-общее реш-е ур-ния (*)

ǀ*a

ǀ+

Тогда

Получаем:

+

Нашли реш-е з-чи (2):

+ (4)

Фор-ла (4) – фор-ла Даламберарешения з-чи Коши для однородного ур-ния колебания струны.

Для решения з-чи (3)воспользуемся принципом Дюамеля, согласно которому, если ф-ция явл-ся реш-ем з-чи:

(5)

,

То реш-е з-чи (3) равно:

(6)

Т.к. реш-е з-чи (5),то

Согласно нач. условию:

Находим:

Тогда

ф-ция (6) удовлетв-т ур-ю (3).Проверим выполн-е нач. усл-й

Для реш-я з-чи (5) сделаем сдвиг по времени

З-ча (5) переходит в з-чу

,

Реш-е посл-ей з-чи находим по ф-ле Даламбера:

Тогда реш-е з-чи (3) запишется:

Это реш-е однозначно.Покажем, что реш-е з-чи (1) устойчиво,т.е.

что как только < < , то ,

где нач. усл-я реш-я з-чи (1),

нач. усл-я реш-я з-чи:

Обозначим . Тогда эта ф-ция явл-ся реш-ем з-чи:

Реш-е последней з-чи:

Обозначим среднее знач-е ф-ции

13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.

Пусть дана ф-ция непрерывная. Мы можем взять сферу радиуса at с центром в т. Под средним значением понимается:

Перейдем к сферической с-ме координат:

Покажем,что

явл-ся реш-ями ур-ния:

Найдем

(1)

Тогда

(2)

(3)

Умножая (3) на и сравнивая с (2) получаем,что явл-ся реш-ем трехмерного волнового ур-ния.Покажем, что и – реш-е этого ур-ния:

– реш-е ур-ния.

Мы показали, что ф-ла Даламбера может быть записана в виде:

14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа

(1)

Решение этой задачи – сумма решений двух задач:

(2)

(3)

Решение задачи (2) определяется формулой Кирхгофа.

где По предыдущей лемме функции являются решениями трехмерного однородного волнового уравнения. По свойству решений линейного уравнения сумма любых его решений - так же решение. А это означает, что функция решение уравнения задачи (2).

решение задачи (3).

15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.

(1)

Решение задачи (1) есть сумма решений задач Коши для одномерного уравнения с ненулевыми начальными условиями и для неоднородного уравнения с нулевыми условиями.

Решение задачи Коши для одномерного уравнения можно определить используя формулу Кирхгофа.

Ур-ие сферы

Если поверхность задачи z=f(x,y)

Где D-проекция.

.

С учетом этого равенства получим:

=

В случае ,если среднее значение функции , вычисляется через среднее по кругу (в случае двух переменных), то формула Киргофа носит название формулы Пуассона.