- •Классическое определение вероятности и ее свойства
- •Комбинаторные методы подсчета
- •3. Геометрический метод определения вероятности.
- •8. Понятие произведения событий
- •9. Понятие разности событий
- •10) Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •20. Наивероятнейшее число благоприятных исходов
- •21. Простейший поток событий
- •22. Случайные величины (дискретные и непрерывные)
- •23. Закон распределения дискретной случайной величины
- •24. Функция распределения дискретной случайной величины
- •25. Мат. Ожидание дискретной случайной величины. Свойства мат. Ожидания.
- •26. Дисперсия дискретной случайной величины
- •27. Закон распределения непрерывной случайной величины
- •28. Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •29. Мат ожидание и дисперсия непрерывной случайной велечины.
- •30. Среднее квадратическо отклонение, мода и медиана непрерывной случайной величины.
- •31.Начальные и центральные моменты непрерывной случайно величины
- •32.Биноминальный з-н распределения
- •35.Равномерное распределение
- •36. Показательный закон
- •37. Нормальное распределение
- •38. Свойства случайной величины, распеделенной по нормальному закону
- •39. Свойства нормального распределения
- •40. Распределение Пирсона
- •41. Распределение Стьюдента.
- •42. Распределение Фишера
- •43. Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения
- •44. Функция распределения многомерной случайной величины
- •45. Плотность вероятности двумерной случайной величины.
- •46. Зависимые и независимые случайные величины.
- •47.Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства.
- •48 Закон больших чисел.
- •49. Неравенство Маркова
- •50. Неравенство Чебышева
- •51. Теорема Чебышева
- •52. Теорема Бернулли
- •53. Центральная предельная теорема (цпт)
- •54. Элементы статистики. Понятие об оценке параметров
- •55. Оценка мат ожидания и дисперсии по выборке
- •56. Вариационный ряд
- •58. Основы математической теории выборочного метода
- •59. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал.
- •60. Оценка параметров в статистике
- •61. Дисперсионный анализ. Однофакторный комплекс.
- •62. Корреляционный анализ. Регрессия.
- •63. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
8. Понятие произведения событий
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
Если А, В, С — совместные события, то их произведение ABC означает наступление и события А, и события В, и события С.
9. Понятие разности событий
Разностью А-В двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.
10) Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)
11
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событийА и В вычисляется по формуле:
.
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РA(В).
12. Следствие 1(теорема о сложение вероятн. не совместных событий)
P(A)+P(A)=1
Следствие 2(Теорема о слежение вероятноcтей совместных событий)
Вероятность появления какого либо из двух событий равна сумме вероятностей
этих событий ,без вероятности их совместного проявления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Следствие 3
Вероятность появления хотя бы одного из группы независимых событий.P(хотя бы одного)= 1-q1q2
13.Вероятность события А найдена в предположение ,что событие В уже наступило ,называется условная вероятность.
PA(B)=P(AB)/P(B) => Умножение вероятностей : P(AB)=P(B) PA(B)
14/предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Н1, H2, ..., Hn. Пусть также имеется некоторое событие А и известны Р(Нi) - вероятность гипотезы, P(A!Hi) - условная вероятность события А при этой гипотезе). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
15Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:
16. Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
В результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой .
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:
17. При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
– среднее число появлений события в n испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для и . При больших рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
18. Пусть в каждом из независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью , (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через вероятность ровно появлений события А в испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между и .
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
где - функция Гаусса
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а)
б) при больших верно .
19. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А состоится число раз, заключенное в границах от а до b включительно (а < b), приближенно равна:
,
где функция Ф (х) определяется равенством
,
Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа. Получаемые по интегральной и локальной формулам Муавра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен. В задачах, не требующих большой точности ответа, можно пользоваться этими формулами и в случаях, когда произведение np имеет небольшое значение, однако не меньшее