Cвойства определителей

1). Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями. Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны.

=

2). Перестановка 2-х строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1).

3). Если определитель имеет 2 одинаковые строки или 2 одинаковых столбца, то он равен нулю.

С одной стороны по второму свойству = - , т. е. 2 = 0 или = 0 .

4). Умножение всех элементов некоторой строки или столбца на число равносильно умножению определителя на это число . Общий множитель можно выносить из строки или столбца за знак определителя.

= .

5).Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0 , то и сам определитель равен 0.

6). Если элементы 2-х строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

7).Если каждый элемент n-ой строки или n-го столбца определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых , то определитель может быть представлен в виде суммы 2-х определителей, первый из которых имеет в n-ой строке , в n-м столбце первые из упомянутых слагаемых и те же элементы , что и исходный определитель , в остальных строках (столбцах) , а второй определитель имеет в n-ой строке в n-м столбце вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель в остальных строках (столбцах).

5

= +

8). Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка , применяя свойство 8.

Решение.

= . Умножим 1-ю строку на (-1) и прибавим к третьей получим

= = 1 + 0 + 0 – 0 – 0 – 2 = -1. Для проверки свойства 8 , вычислим исходный определитель по правилу треугольника = 2 + 3 + 2 – 1 -3 -4 = -1.

Как видно из результатов вычислений , свойство 8 выполняется.

Прежде чем сформулировать свойство 9 , рассмотрим некоторые новые математические понятия.

Алгебраические дополнения и миноры

Для наглядности снова раскроем определитель 3-го порядка по правилу треуголь-ника

= = + + - - -

= ( - ) + ( - ) + ( - ).

Выражения в скобках называются алгебраическими дополнениями элементов первой строки и обозначаются:

= - ; = ; = -

Аналогично, можно сгруппировать члены относительно элементов любой строки или любого столбца и получить алгебраические дополнения элементов этих строк или столбцов. Таким образом , значения определителя равно произведе-

ниям элементов какой – либо строки или столбца на их алгебраические допол-

нения. 6