Лекция 8. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов . Смешанное произведение.

Пусть вектор и вектор найдём векторное произведение этих векторов

[ , ] =

29

= { = = =0 , } = = = { раскроем этот определитель по элементам первой строки, получим } = [

ВЫВОД. Векторное произведение равно определителю третьего порядка, элементами которого являются базисные векторы ( первая строка) , координаты перемножаемых векторов ( вторая строка ) ; ( третья строка ).

Замечание. Векторное произведение базисных векторов находят по правилу правых и левых троек

= =

=- =

0 = - = -

Пример 1. Сила = {1, 0, 4 } приложена к точке С ( 1, 2, 3). Найти момент этой силы относительно точки D ( 1, 4, 5).

Решение. ,координаты вектора = { 0, -2, -2}.

= -8 + 2 .

Ответ: {-8,2,2}.

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма , построенного на векторах , где ; угол между векторами и равен 60⁰.

Р ешение. S = = = 5 ⁰ = 5 3 2 =15 кв.ед. Ответ: S = 15

Пример 3. Вычислить площадь треугольника , вершины которого находятся в точках А ( 2,3,1) ; В ( 5, 6, 3) ; С ( 7, 1, 10).

Р ешение. S = S = . Найдём координаты векторов , для

этого из координат конца вычтем координаты начала , получим {3,3,2} ; 30

{5,-2,9}. S = = = = = ед . Ответ: S = ед.

Cмешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением 3-х векторов , называется скалярное произведение вектора [ на вектор , ([ .

Обозначается : ( или (

Cвойства смешанного произведения

1). ([ = ( ;

2). ( = - ( = ( = - ( = +( ;

3). (α , .

Доказательство этих свойств следует из свойств определителей , что мы и увидим в дальнейшем.

Геометрический смысл смешанного произведения (

= [

S . По определению ([ =

h = = S =

={h = } = S = V.

Угол может быть < и > , то есть < 0 или >0 , поэтому

Вывод: Смешанное произведение векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда , построенного на векторах сомножителях.

Координатная форма смешанного произведения

Пусть вектор = { X₁ , Y₁ Z₁ } ; вектор = { X₂ ,Y₂ ,Z₂ } ; вектор = {X₃ ,Y₃ , Z₃ }.

[ ] = = - + . Известно , что скалярное произведение - это произведение одноимённых координат , поэтому

31

( X₃ - Y₃ + Z₃ , c другой стороны - это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

= ( (

Используя формулу ( , можно доказать все свойства (1,2,3) смешанного произведения.

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках : О ( 0,0,0) ; А(5,2,0) ; В ( 2, 5, 0) ; С ( 1,2,4) .

Решение. Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда , то есть = V_пир. = V_пар. = , = = (100 -16 ) = 84 куб.ед.

Ответ: V_пир. = 84 куб. ед.

Условие компланарности векторов

Теорема. Необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство необходимости. Пусть компланарны , значит построить параллелепипед на них нельзя , то есть объём равен нулю V=0 , а это значит и =0 ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть ( = 0 это значит , что V=0 и векторы лежат в одной плоскости , то есть компланарны ч.т.д.

Вывод: Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения = 0

Пример. Проверить лежат ли четыре точки в одной плоскости. А ( 2,-1,1); В(5,5,4); С(3,2,-1) ; Д(4,1,3).

Решение. Надо проверить лежат ли 3 вектора в одной плоскости, для этого найдём координаты этих векторов {3,6,3} ; { 1,3,-2} ;

( =18 -24 +6 -18-12+ 12= 18 . Вывод. Эти точки

не лежат в одной плоскости.

Определение. Двойным векторным произведением векторов называется векторное произведение [ или [ .

32

Задачи

Задача 1. Какому условию должны удовлетворять векторы , чтобы вектор делил пополам угол между векторами

Задача 2. Точка 0 является центром тяжести треугольника АВС. Доказать , что

.

Задача 3. Найти сумму и разность векторов и , если ;

Задача 4. Дан вектор ; Угол между векторами равен 60⁰ . Найти =?

Задача 5. Даны 3 вектора , Определить разложение вектора по базису .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция 9. Основные понятия. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит метод координат , впервые применённый Декартом ( великий французский математик и философ 1596-1650). Начальные (основные) понятия аналитической геометрии – точка, прямая линия, плоскость, поверхность.

Понятие об уравнении линии.

Определение. Линия L – это геометрическое множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ф(x,y) = 0 или (1)

F(x,y) = 0.

Для более удобного построения линий L , часто вводят вспомогательную переменную или параметр t .

(2)

Исключив из (2) параметр t , перейдём к (1).

Пример. Получить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r.

Решение. Сделаем рисунок.

33

y

t

r Из рисунка видно

oo t x 0 t

Эти уравнения (3) и есть параметрические уравнения окружности. Обе части уравнений (3) возведём в квадрат и сложим . уравнение окружности с центром в точке О(0,0) и радиусом r.

Можно вывести уравнение циклоиды – это линия , которую описывает точка М на окружности , если окружность без скольжения движется по прямой.

y

0 x

Определение. Линия называется алгебраической , если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением Ф(x,y)=0, где Ф(x,y) – алгебраический полином – многочлен .

Определение. Алгебраическая линия называется порядка n , если Ф(x,y) многочлен n-ой степени.

Ф(x,y )= Аx+By+C=0 1-ой степени

Ф(x,y)= A 2-ой степени

Ф(x,y)= A 3-й степени.

Определение. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.