2.5 Расчеты в автоматизированных системах управления

2.5.1 Исследование устойчивости системы

При проектировании и эксплуатации систем управления одним из основных требований, предъявляемых к ним, является требование устойчивости системы.

Система автоматического управления считается устойчивой, если она, будучи выведена из состояния установившегося движения некоторым воздействием, возвращается в исходное состояние после прекращения этого воздействия.

Найдем передаточные функции всех звеньев:

1. Передаточная функция объекта управления:

W_1(р)=К_о*е^-рt/Т_о*Р+1; где К₀- коэффициент объекта (из разгонной характеристики)

Т_о=150 - (из разгонной характеристики) постоянная времени.

W_1(р)=К_о*е^-рt/Т_о*Р+1=1,2/10р+1;

2. Передаточная функция регулирующего органа:

W_2(Р)=К₂=4

3. Передаточная функция исполнительного механизма:

W_3(Р)=1/Т₃*р; где Т₃=0,1p

W_3(Р)=1/Т₃*р=1-0,1р

4. Передаточная функция ПБР:

W_4(Р)=К₄=1

5. Передаточная функция П-регулятора:

W_5(Р)=К₅=60

где К₅- коэффициент усиления регулятора

К₅=0,7/К₀*t/Т₀=0,7/20*0,5=0,07

6. Передаточная функция И-регулятора:

W_6(Р)=1/Т₆*Р=1/7р,

где Т₆-время изодрома

Т₆=0,3-Т₀=45с

7. Передаточная функция:

W_7(Р)=К₇=200

8. Передаточная функция датчика) w_д

W_д(Р)=К_д/Т_д*Р+1;

где К_д-коэффициент датчика, который находится по формуле:

К_д=90⁰/0,5mА=180, а инерционность датчика Т_д=0,06с.

Нахождение передаточной функции замкнутой системы, через соединения звеньев.

W_11(р)= W_4(р)*W_3(р)=1/0,1р;

W_12(р)=К₄*1/Т₃*Р/1+К₄*1/Т₃*Р*К₇=1/0,1р/1+1/0,1р*200=

=0,1р/0,01р²+20р=1/0,1+200;

W₁₃=W_5(р)+W_6(р)=60+1/7p=420p;

W_14(р)=W_13(р)*W_2(р)*W_1(р)*W_13(р)=W_12(р)*W_2(p)*W_1(р)*(W_5(р)+W_6(р))=

=1*3*18*(3,15р+1)/(0,1р+200)*(130р+1)45р=

=76*(3,15р+1)/(16р²+0,1р+28000р+200)45р=

=3,15р+1/(15р²30000,1р+200)*1,8р=

=3,15р+1/25р³+52000р²+330р;

W_зам(р)=W₁₄/1+W₁₄*W_д=3,15р+1/25р³+52000р²+330р/1+

+(3,15р+1)*200/(25р³+52000р²+330р)*(0,05р+1)= =(3,15р+1)*(25р³+52000р²+330р)*(0,05р+1)/(25р³+52000р²+

+330р)*[(27р³+52000р²+330р)*(0.05+1)+200(3.15р+1)]=

=0,14р²+3,15р+0,05р+1/1,34р⁴+27р³+2680р³+52000р²+18р²+330р+

+620р+200=0,14р²+3,2р+1/1,34р⁴+2650р³+52231р²+860р+200;

Критерий Рауса-Гурвица

Характеристическое уравнение:

1,34р⁴+2650р³+52231р²+860р+200=0

р⁴+2001р³+39023.6р²+687.4р+148,2=0

По Гурвицу система является устойчивой, так как выполняется следующие условие:

а₁*а₂*а₃.>а₀*а₃²+а₁²*а₄

5,36*10¹⁰>5.3*10⁸

Критерий Михайлова.

1. Знаменатель составит характеристическое уравнение.

2. Заменим в характеристическом уравнении заменим P на (jw), помня, что получим:

w⁴-2001 jw³-39023.6w²+687.4 jw+148,2=0

3. Разделим это уравнение на действительную и мнимую части:

Re(w)=w⁴-39023.6w²+148,2

Im(w)=687.4jw-2001jw³

4. Задаваясь различными частотами составим таблицу.

W	0	1	2	3
Re	148,2	-3,7*10^4	-1,48*10^5	-3,1*10^5
Im	0	-1,0*10^3	-1,35*10^4	-4,8*10^4

5. Соединим все точки в порядке возрастания w построим график.

Вывод: система устойчива так как характеристический вектор при изменении частоты от 0 до повернулся в положительном направлении на число квадрантов, равное порядку исходного уравнения.