Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

∂(ρk ) ∂(ρV

x

k ) ∂(ρVy k )

∂(ρV

k )

∂

µ

t

∂k

∂

µ

t

∂k

∂

µ

t

∂k

+ µt Φ − ρε (11.13)

z

+

+

∂t

+

∂x

+

∂y

+

∂z

=

σk

∂y

σk

∂z

σk

∂x

∂x

∂y

∂z

∂(ρε)+

∂(ρVxε)

∂(ρV

y

ε)

∂(ρVzε) =

∂

µt

∂

µt

∂

µt

+

+

∂ε

+

∂ε

+

∂ε

+

∂t

∂x

∂y

∂z

σε

σε

σε

(11.14)

ε

ε 2

∂x

∂x

∂y

∂x

∂z

∂z

+ C

µ

Φ −C

ρ

t k

k

1

2

Значения констант для стандартной k - ε модели турбулентности, полученные Лаундером и Сполдингом, представлены ниже в таблице. Эти значения могут изменяться для конкретных задач в соответствии с опытными данными.

	C1	C2	Cµ			σk	σε
	1,44	1,92	0,09			1,0	1,3
Величина турбулентной вязкости подсчитывается по формуле
		µt = Cµ ρ		k 2	.		(11.15)
				ε

91

12. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА

12.1. Основные сведения

Программа дисциплины “Гидравлика (техническая механика жидкости и газа)” предусматривает изучение численных методов и их реализацию на ЭВМ применительно к решению уравнений Навье-Стокса в конечно-разностной форме. Для учебных, а в ряде случаев и для научных целей наиболее целесообразно использование декартовой системы координат и физических переменных: компонент скоростей и давления. В исследуемой области изменения независимых переменных вводится сетка – дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Дифференциальные уравнения с соответствующими краевыми условиями заменяются приближенными сеточными уравнениями, связывающими значения искомых функций в узлах сетки. При этом формируется система алгебраических уравнений, которую можно решать тем или иным способом на ЭВМ.

Исследование устойчивости конечно-разностных аналогов уравнений НавьеСтокса является сложной и нерешенной пока до конца задачей. Однако можно изучить основные аспекты поведения многих конечно-разностных схем, рассматривая одномерные модельные уравнения переноса.

Одним из достаточно простых модельных уравнений переноса является уравнение Бюргерса [15]:

∂u	= −u	∂u	+α	∂2u
∂t		∂x		∂x2 ,

где u рассматривается как обобщенная скорость. Это уравнение сохраняет нелинейность уравнений Навье-Стокса. Благодаря своей нелинейности оно может служить модельным уравнением для изучения как турбулентности, так и ударных волн. На этом уравнении могут быть изучены различные конечно-разностные схемы. Известны некоторые аналитические решения уравнения Бюргерса.

В последние годы широкое применение в вычислительной гидродинамике получило обобщенное дифференциальное уравнение, описывающее уравнение движения и уравнение для кинетической энергии турбулентности. Если обозначить зависимую переменную Φ , то обобщенное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

∂	(ρΦ)+ div(ρuΦ)= div(ΓgradΦ)+ S ,	(12.1)
∂t

где Γ − коэффициент диффузии, S − источниковый член. Конкретный вид Γ и S зависит от смысла переменной Φ .

В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный и источниковый. Кроме того, поле скоростей должно удовлетворять дополнительному ограничению – уравнению неразрывности (см. подраздел 3.2). Дифференциальные уравнения, описывающие теплообмен, массообмен, гидродинамику и турбулентность, можно рассматривать как частный слу-

92

чай уравнения (12.1), что позволяет ограничиться численным решением только этого уравнения при использовании соответствующих зависимостей для Γ и S .

Дискретный аналог дифференциальных уравнений представляет собой алгебраические уравнения, связывающие значение Φ в некоторой группе узловых точек. Эти уравнения получаются из дифференциальных уравнений, описывающих изменение Φ , и, следовательно, этот аналог несет ту же физическую информацию, что и исходные дифференциальные уравнения. В дискретный аналог входят значения Φ только в некоторых узловых точках, что является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Φ в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение Φ в окрестностях этой точки. Предполагается, что при очень большом числе узлов решение дискретного аналога сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Возможные дискретные аналоги любого дифференциального уравнения не единственны, однако, предполагается, что в пределе очень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов дают одно то же решение. Возможные отличия в решениях являются следствием различных предположений о характере профиля зависимой переменной и способов получения аналогов.

Существуют две основные версии дискретных аналогов: конечно-разностный метод и метод конечных элементов.

12.2. Обзор основных методов получения дискретных аналогов

12.2.1. Использование рядов Тейлора

Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используется прямоугольная сетка: нижние индексы i и j используются для аргументов x и y , а верхний индекс n соответствует временному слою. Опуская для упрощения верхний индекс, рассмотрим три узловые точки: 1, 2 и 3. Разложение в ряд Тейлора около узловой точки 3, расположенной посредине между точками 1 и 3, дает:

Φ1

Φ3

=Φ2

=Φ2

dΦ

1

(∆x)

2

d 2 Φ

− ∆x

+

−...

2

2

dx

dx 2

2

dΦ

1

(∆x)

2

d 2Φ

+ ∆x

+

+...

2

2

dx

dx 2

2

Отбрасывая члены обоих рядов, начиная с четвертого, вычитая и складывая уравнения, получим:

dΦ

=

Φ3

− Φ1

,

d 2Φ

Φ1 − 2Φ2 + Φ3

.

=

2

(12.2)

dx 2

2∆x

dx

2

∆x

2

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения, можно получить его дискретный аналог. Вывод с помощью рядов Тейлора сравнительно прост, но менее гибок и не способствует пониманию физического смысла членов уравнения. Возможны большие ошибки для случаев экспоненциального изменения Φ .

93

12.2.2. Полиномиальная аппроксимация

Этот метод получения конечно-разностных выражений основан на применении аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которая строится по значениям в узлах сетки, а затем аналитически дифференцируется. Это обычный метод нахождения производных по экспериментальным данным. В идеале вид функции должен определяться приближенным аналитическим решением. Однако на практике обычно используются полиномы второго или третьего порядка. Полиномы высоких порядков часто приводят к неправдоподобным результатам. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется для получения решения вблизи границ.

12.2.3.Интегральный метод

Вэтом методе требуется приближенно удовлетворить основным уравнениям, записанным не в дифференциальной, а в интегральной форме. Различие между интегральным методом и методом разложения в ряды Тейлора наиболее четко проявляется при использовании непрямоугольных координат.

12.2.4.Метод контрольного объема

Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс «численного моделирования». Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждый узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами. В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах.

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его определенным свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле [20]. Его преимущество заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. В методе контрольного объема заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Поэтому даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам.

Метод контрольного объема, в частности, хорошо работает для определения потерь давления в местном гидравлическом сопротивлении при задании различных эпюр скоростей во входном и выходном сечениях.

Метод контрольного объема используется в профессиональном пакете STAR-CD, позволяющем решать многочисленные инженерные задачи механики жидкости и газа.

12.2.5. Метод конечных элементов

Этот метод в последние десятилетия стал одним из широко распространенных. Он является эффективным средством дискретизации различных дифференциальных

94

уравнений и вариационных задач математической физики. Метод конечных элементов составляет алгоритмическую основу многих прикладных программ, (в том числе пакета программ Ansys), имеющих профессиональную и университетскую версии.

В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы. Для удобства задания информации об этих элементах и обеспечения приемлемой гладкости функций используются достаточно простые области: отрезки в одномерной модели, треугольники и прямоугольники в случае двухмерной области, тетраэдры и параллелепипеды − в трехмерном случае. В результате расчетная область представляется в виде объединения отдельных элементов, соседние из которых имеют общие точки, стороны или грани. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, или с помощью метода Галеркина. Метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностных методов. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Например, треугольная сетка более удобна для аппроксимации нерегулярных областей и получения локального сгущения точек.

95

13.ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

ИИХ РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ

13.1.Основные сведения

Ксовременной промышленности предъявляются жёсткие требования как по техническим характеристикам машин различного назначения, так и по экологической и техногенной безопасности, а также комфортности при их эксплуатации. Удовлетворение этих требований возможно только при условии использования высоких наукоёмких технологий. В частности, полноценное и качественное инженерное обеспечение технических проектов возможно только на основе использования

CAD/CAE/CAM технологий. Технологическая цепочка CAD/CAE/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Engineering/ Computer Aided Manufacture) обеспечи-

вает точное математическое моделирование на всех этапах разработки новых образцов техники и совершенствования существующих машин, материалов и технологий.

Рассмотрим вопросы применения компьютерных технологий в рамках подготовки и практической деятельности инженеров широко распространенных машиностроительных направлений: 653200 "Транспортные машины и транспортнотехнологические комплексы"; 651400 "Машиностроительные технологии и оборудование", 657800 "Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств". При этом будем ориентироваться на хорошо успевающих студентов высших технических заведений, получивших надлежащую подготовку по математике и информатике на младших курсах и успешно применявших эти знания на старших курсах при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин, выполнении курсовых работ и проектов и выпускной работы. Таким образом, к началу трудовой деятельности молодые специалисты достаточно хорошо подготовлены к использованию компьютерных технологий в своей практической деятельности.

Однако большая часть выпускников будет скорее всего работать в сфере непосредственного производства, например, мастерами в цехах. Они скорее всего будут использовать компьютеры не для решения задач инженерного анализа, а для учета показателей производственного процесса, управления и контроля, пользуясь программным продуктом, созданным специалистами в другой области. Относительно небольшая часть попадет в конструкторские и научно-экспериментальные подразделения. Для выполнения некоторых расчетов они могут создавать свои небольшие программы, а иногда выполнять расчетные работы с помощью калькуляторов и графических построений (например, для типовых задач, приведенных в подразделе 15.1). Задачи, рассмотренные в подразделе 15.2, можно решать с помощью многочисленных пакетов, носящих название "математика"(например, MATH.CAD, MATH.LAB). Совсем небольшая группа будет работать в подразделениях (или подразделении), которые должны заниматься перспективными разработками, определяющими судьбу фирмы, ее будущее. В таких подразделениях, как правило, работают наиболее талантливые люди разных специальностей, в том числе специалисты в области вычислительной математики и программирования. Возможно, некоторые выпускники машиностроительных направлений (по своему желанию или по воле руководства фирмы), в известной мере пройдут переквалификацию и станут создавать великолепные математические модели и программные про-

96

дукты, обладающие большими возможностями. Однако потребуется достаточное количество работников, которые для уменьшения рутинной работы, повышения ее качества и сокращения времени будут пользоваться готовыми прикладными пакетами инженерного анализа для решения достаточно сложных задач. Современные пакеты прикладных программ имеют очень большие возможности. Сейчас студенты старших курсов с помощью пакетов прикладных программ зачастую выполняют курсовые работы, которые несколько лет тому назад соответствовали бы уровню кандидатской или даже докторской диссертации. Недаром на одной из последних конференций по теплообмену ведущий специалист в области вычислительных методов английский ученый Сполдинг сказал, что в настоящее время каждый человек может решить любую задачу в области механики жидкости, газа и плазмы (разумеется, он при этом предполагал, что этот человек имеет в своем распоряжении современный пакет соответствующих прикладных программ).

Решения по структуре и финансированию фирмы принимают руководители (например, совет директоров), которые чаще всего (по крайней мере, в России) выходят из производственных подразделений. Поэтому в процессе подготовки инженерного состава студенты должны не только составлять учебные программы небольшого объема, но и знакомиться с современными пакетами прикладных программ в качестве пользователей. Отметим, что во многих странах фирмыразработчики программ предоставляют их университетам бесплатно или за символическую плату, справедливо ожидая, что, поступив работать на фирму, выпускники укажут работодателям именно на те программы, которые они изучили во время учебы.

Вкачестве примера, ниже будут рассмотрены некоторые возможности пакета Ansys, с помощью которого можно решать задачи по расчетам на прочность, по теплотехнике, электротехнике, механике жидкости и газа (раздел Flotran). Университетские версии Ansys / Flotran имеет ограничение от 2000 до 16000 узлов, поэтому приходится ограничиваться главным образом плоскими и осесиметричными задачами. Для работы среде Flotran необходимы знания в области механики жидкости и газа, основ вычислительных методов и программирования. Пакет имеет встроенные модули для многих известных систем CAD.

Врезультате решения уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения или уравнения Рейнольдса для турбулентного режима течения с помощью пакета определяется поле скоростей и поле давлений в области, на основании которых можно получить некоторые интегральные характеристики, например, коэффициент гидравлических потерь устройства. Схема применения численных методов при работе в среде пакета сводится к некоторой последовательности действий.

1. Определение имя задания.

2. Выбор раздела в главном меню (в рассматриваемом случае – Flotran). 3. Определение типа элемента: плоского или пространственного.

4. Задание геометрии области течения посредством координат определяющих точек или прямоугольников (в случае простой геометрии).

5. Соединение введенных точек линиями.

6. Производство сеточного разбиения на границах области и создание ко- нечно-элементной сетки.

7. Задание граничных условий: величин компонент скоростей во всех элементах входного сечения и нулевое значение скорости на стенках.

8. Задание величины давления на входе.

97

9.Задание свойств жидкости: плотности и вязкости в указанных единицах измерения.

10.Установка параметров решения в зависимости от возможностей компьютера и требуемой точности, (например, ввести число итераций).

11.Ввести команду «Решение» (Solution).

12.По завершению расчетов на экране появляется график, показывающий изменение компонент скоростей по осям, а также соответствующие значения давлений. Проводится анализ результатов расчета. Решение может сходиться при достаточно большом числе итераций. Большое значение имеет также выбор расчетной области течения и корректность задания граничных условий.

13.Загрузка результатов последней итерации.

14.Просмотр поля скоростей. На экране появляется картина течения.

15.Просмотр полей давления. На экран выводятся изолинии давлений.

16.Программирование определения интегральных характеристик с помощью встроенной в систему вспомогательной программы или запись результатов для дальнейшей работы.

17.Выход из Ansys.

Схема действий при работе с другим пакетом, например STAR-CD, будет в деталях отличаться. Однако общий подход, зависящий от структуры задачи, останется без существенных изменений.

STAR-CD является специализированным пакетом для решения задач механики жидкости и газа. Этот пакет позволяет решать задачи со свободными поверхностями, фазовыми переходами и многофазными потоками. Возможно также получить решение для течений с кавитационными кавернами, проводить численное моделирование течений с химическими реакциями, в частности процессов горения. В процессе работы можно проводить изменение области интегрирования и использовать скользящие сетки, с помощью которых легко определять взаимодействие неподвижных и подвижных объектов.

GAS DYNAMICS TOOL представляет пример специализированного пакета по моделированию нестационарных и стационарных газодинамических процессов с учетом химических реакций, катализа, диффузии и горения.

Программный комплекс Flow Vision, созданный ООО "ТЕСИС", предназначен для моделирования трехмерных течений жидкости и газа в технических и природных объектах. Пакет позволяет проводить визуализацию течений методами компьютерной графики. Возможно моделирование стационарных и нестационарных течений несжимаемой и сжимаемой жидкостей, а также моделирование потоков со свободной поверхностью. Используется адаптивная расчетная сетка и различные модели турбулентности.

13.2. Примеры расчетов

Приведем несколько примерных задач, решенных посредством пакета Ansys в процессе выполнения курсовых работ студентами третьего курса.

13.2.1. Расчет течения жидкости в плоских диффузорах

Течение в плоском диффузоре зависит от двух геометрических параметров (выбраны угол раскрытия диффузора ϕ и степень расширения n) и от числа Рей-

98

нольдса. Модель диффузора была создана таким образом, что все эти параметры можно изменять. Расчетная область была разбита на 40 элементов по горизонтали и на 20 элементов по вертикали. В ходе вычислений были получены распределения скоростей и давлений, а также значения гидравлических потерь h и коэффициентов гидравлического сопротивления ζ. Сложность анализа течения в диффузорных каналах состоит в том, что здесь возможны две формы течения: безотрывная и отрывная, когда основной поток не следует вдоль стенки диффузора. (Пример отрывного течения в диффузоре, полученный расчетом, представлен на рис.28).

Рис.28. Картина линий тока в плоском диффузоре

Зависмость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса для двух значений угла раскрытия представлена на рис.29.

а)

б)

Рис. 29. а – угол раскрытия 8°, б – угол раскрытия 12°

При некотором значении числа Рейнольдса, подсчитанному по входному сечению, его величина перестает влиять на значение коэффициента гидравлического сопротивления. На первый план выходят геометрические параметры диффузора.

На рис. 30 показано влияние степени расширения диффузора и угла его раскрытия на отрыв потока в нем. Область ниже кривой соответствует безотрывному течению. Если геометрические параметры диффузора попадают в зону над кривой, то реализуется отрывной характер течения. Хорошо видно резкое уменьшение предельной степени расширения с ростом угла ϕ и асимптотическое увеличение ее с уменьшением угла. При ϕ< 4° течение при любых степенях расширения становится

99

безотрывным. Разумеется, этот факт не свидетельствует об оптимальности таких диффузоров.

n

Рис. 30. Отрывные и безотрывные диффузоры

Полученные результаты совпадают с исследованиями А.Е.Зарянкина [7].

13.2.2.Взаимное влияние местных сопротивлений

Вэтой задаче рассчитывалось плоское течение в двух коленах, каждое из ко-

торых поворачивает поток на 45° поворот, колена соединяются трубой длиной l , значение которой варьировалось. При нулевой величине длины трубы происходит резкий поворот потока на 90°. Результаты расчета представлены на рис. 31.

1,0

0,5

0	1	2	3	4	l/d
					5

Рис. 31. Зависимость суммарного коэффициента гидравлических потерь от относительной длины трубы между двумя коленами

100