Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

Вместе с уравнением неразрывности и уравнением состояния, при условии баротропности, получаем замкнутую систему уравнений.

Будем считать, что

∂Vx	<<	∂Vx	и	∂ρ	<<	∂ρ	.
∂x		∂t		∂x
						∂t

Тогда уравнение Эйлера примет следующий вид:

∂Vx

= −

1

∂p .

(14.43)

∂t

ρ ∂x

Уравнение неразрывности будет

∂Vx

∂ρ

= −ρ

.

(14.44)

∂t

∂x

Из уравнения состояния следует, что

∂ρ

=

ρ

∂p .

(14.45)

∂t

K

∂t

С учетом (14.44) уравнение состояния можно переписать в следующем виде:

1 ∂ρ

= −

∂Vx .

(14.46)

K ∂t

∂x

Продифференцируем (14.43) по x, а (14.44) по t

∂2Vx

= −

1 ∂2 p

и

1 ∂2 p

= − ∂2Vx .

(14.47)

∂t∂x

ρ ∂x2

K ∂t 2

Тогда

∂t∂x

∂2 p = c2

∂2 p ,

(14.48)

∂t 2

∂x2

где c =

K

− скорость распространения упругих возмущений.

ρ

Продифференцировав (14.43) по t, а (14.44) по x, получим:

∂2Vx

= −

1 ∂2 p

и

1 ∂2 p

= −

∂2Vx .

(14.49)

∂t 2

ρ ∂x∂t

K ∂t∂x

∂x2

Тогда

∂2Vx

= c2 ∂2Vx .

(14.50)

∂t 2

∂x2

Уравнения (14.48) и (14.50) являются волновыми уравнениями для давления и скорости, соответственно, полученные из уравнения Эйлера путем отбрасывания конвективных ускорений.

Из курса математики известно общее решение Коши для волнового уравнения в виде

p = p0	+ F(t +	x	) + f (t −	x	) .	(14.51)
		c
				c

Слагаемое F является волной давления, двигающейся вверх по течению со скоростью с; слагаемое f представляет собой волну, двигающуюся вниз по течению со скоростью с.

Выражение для скорости будет таковым:

V =V0 −	1	[F(t +	x	) − f (t −	x	)].	(14.52)
	ρc		c
					c

Для нахождения частных решений нужно задать граничные и начальные усло-

вия.

121

14.9.Истечение газа из резервуара

14.9.1.Адиабатное течение газа

При рассмотрении движения газа с достаточно большими скоростями (этот раздел механики газа называется "газовой динамикой") целесообразно ввести скорость распространения малых возмущений, называемую чаще скоростью звука. Из курса физики известно, что для любой сплошной среды ее величину можно подсчитать по формуле:

a = ∂∂ρp .

Экспериментальные данные дают значения скорости звука при нормальных условиях для воды ~ 1400 м/c, а для воздуха ~ 330 м/c. Очевидно, что столь большие значения скорости для капельной жидкости труднодостижимы, а для газов достаточно часто реализуются в различных устройствах пневмоавтоматики и газовых машинах.

Для термически совершенного газа скорость звука будет равна:

a = kRT ,

(14.53)

где k – показатель изоэнтропы, равный отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме (для воздуха k = 1.4).

Так как наличие тела в потоке газа или капельной жидкости вызывает возмущения, то следует ожидать, что поле течения может существенно зависеть от отношения средней скорости течения к скорости звука. Это отношение называется чис-

лом Маха:

M =	V	.	(14.54)
	a

В зависимости от величины этого критерия можно рассматривать четыре типа течений: дозвуковые течения, когда скорость жидкости во всем потоке меньше скорости звука (в первом приближении при достаточно малых скоростях течения можно пренебречь сжимаемостью); околозвуковые течения, когда скорость жидкости или газа сравнима со скоростью звука; сверхзвуковые течения, когда скорость жидкости больше скорости звука; гиперзвуковые течения, когда скорость газа существенно превышает скорость звука (последний случай представляет интерес главным образом для космической техники и авиации).

Рассмотрим очень важную для приложений задачу об истечении газа из резервуара через сужающийся насадок, который в этом случае называется обычно соплом. Скорость в резервуаре будем считать пренебрежимо малой, поэтому интеграл Бернулли для этого случая в предположении изоэнтропичности движения будет иметь следующий вид:

	V 2	+	k p			=	k		p	0	,
	2		k −1 ρ				k −1 ρ0

где индекс “0” относится к резервуару.

Решая последнее уравнение относительно скорости, получим:

V = k2−k1 RT0 1− p p0 k −1k .

122

Очевидно, что максимальная скорость газа реализуется при условии p p0 → 0

и M → 0 ( a → 0 ).

V	max	= 2k		RT
		k +	1	0

Массовый расход газа в предположении одномерности течения и отсутствия потерь определяется следующим образом:

p

1

2k p0

p

k −1k

QM

p

k

1

p

.

(14.55)

= ρVA = ρ0 A

k −

1 ρ0

−

0

0

Обозначив p p0 = ε , последнюю формулу преобразуем следующим образом:

	QM	=	2k	p0	f (ε),
			k −1	RT
				0

где f (ε) = ε 1k 1−εk −1k .

Легко заметить, что функция f (ε) имеет экстремум (максимум), соответствующий так называемому "критическому отношению" давлений:

εкр =		2 k k −1		(14.56)
			.
		k +1

При k = 1.4, εкр = 0.528.

Максимальное значение массового расхода тогда будет равно:

QM кр = A	p0		2	k +1k −1	.	(14.57)
	RT	k
		k +1
	0

Зависимость расхода газа от отношения давлений в предположении постоянства температуры T0 и давления p0 дано на рис. 46 (кривая 1). Этот случай характе-

рен для паротурбинной техники. В машиностроении, в частности в системах пневмоавтоматики, часто бывает задано постоянное значение противодавления, а давление в резервуаре меняется. В этом случае зависимость расхода от отношения давлений дается на рис. 46 (кривая 2) (2- p0 = v a r , p = c o n s t ).

Рис. 46. Зависимость массового расхода газа от отношения давлений,

1− p0 = const, p = var; 2 − p0 = var, p = const

123

Пунктирной кривой на рис. 46 изображена расчетная кривая при p0 = c o n s t и p = v a r для ε < εкр . Ее отличие от действительной объясняется тем, что при ε = εкр на срезе сопла устанавливается звуковая скорость V = a = aкр =Vкр , а при ε < εкр об-

разуется так называемый "звуковой барьер": изменения внешнего давления не могут проникнуть внутрь сопла, поэтому расход остается постоянным при p0 = c o n s t .

Заметим, что при истечении через отверстие с тонкой кромкой становится существенным неодномерный характер течения, поэтому наблюдается так называемый второй критический режим течения. Например, для круглого отверстия в тонкой стенке при истечении воздуха критическое отношение давления имеет порядок

εкр ~ 0.1.

Отметим, что формула для скорости остается верной для любой области течения: дозвуковой или сверхзвуковой. Форма же сечения сопла для получения сверхзвуковой скорости (сопла Лаваля) совпадает по конфигурации с трубкой Вентури для несжимаемой жидкости. Однако в сопле Лаваля на расчетном режиме работы скорость монотонно возрастает, а давление монотонно уменьшается.

14.9.2. Изотермическое течение газа

На практике достаточно часто встречается изотермическое течение газа в трубах. Чем больше длина газопровода, отнесенная к его диаметру, тем более вероятным является изотермический процесс. Между тем в учебной литературе обычно рассматривается либо адиабатическое течение, либо течение с подводом тепла в общем виде. В учебнике [3] рассмотрены некоторые случаи течения газа в трубе с постоянной температурой.

Рассмотрим установившееся течение вязкого совершенного газа с постоянной температурой в цилиндрической трубе.

Уравнение расхода в трубе постоянного сечения имеет следующий вид:

V1 ρ1 = V2 ρ2 = const.

(14.58 )

Применяя к элементарному объему газа, ограниченному двумя сечениями на расстоянии dx друг от друга, теорему импульсов, получим уравнение

dp/ρ + d(V2/2) + λ dx·d (V2/2) = 0 ,

(14.59)

где λ − коэффициент потерь на трение по длине, зависящий от режима течения, числа Рейнольдса, числа М и относительной шероховатости.

Число Рейнольдса при движении в трубе постоянного диаметра, равное:

Re = V d/ν = 4dm/dt/(π d µ)

при изотермическом течении газа будет оставаться постоянным по длине газопровода.

Наши эксперименты и данные, приведенные М. Е. Дейчем [7], свидетельствуют о том, что в первом приближении коэффициент гидравлического трения λ можно считать постоянным в дозвуковой области вплоть до числа М=1. Поэтому

124

при интегрировании уравнения (14.59) можно принимать λ = const вдоль потока. Отметим, что при выводе уравнения (14.59) принималось равномерное распределение скорости по сечению, так как при течении вязкого газа скорость по длине трубы растет, а при конфузорном течении профиль скорости характеризуется коэффициентами α, мало отличающимися от единицы.

При изотермическом течении газа температура торможения будет монотонно возрастать по длине трубопровода, причем в ресивере температура торможения будет равна термодинамической температуре газа, постоянной во всем газопроводе

(рис. 47).

Рис. 47. Изменение температуры торможения при изотермическом течении газа

Обычное понятие температуры торможения в адиабатном потоке связано с термодинамической температурой и скоростью течения известным соотношением, действительным в пределах каждого i - гo сечения:

k k−1 RTi + V2i 2 = k k−1 RT0i .

Уравнение адиабаты для давлений и температур также справедливо в пределах фиксированного сечения:

p0i / p = (T0i /T )k / k −1 .

Так как вдоль потока параметры газа изменяются по уравнению изотермы,

то

p1/ρ1 = p2/ρ2 .

Используя уравнение расхода (14.58), легко получить:

dp = - (p1V1 dV)/V2 .

125

Подставляя полученное выражение в (14.59), легко получить дифференциальное уравнение

λ dxd + dV(V22 )− 2 ρp11 VdV3 = 0 .

После интегрирования в пределах от начального сечения газопровода 1—1 до произвольного будем иметь:

		l		1		1			V
	λ		= RT		−			− 2ln		,	(14.60)
		d		2		2			V1
			V			V
				1

где T=T1 − термодинамическая температура, постоянная вдоль потока.

Так как скорость звука постоянна вдоль потока, уравнение (14.60) целесообразно переписать в следующей безразмерной форме:

l

1

1

1

M

l = λ

=

−

− 2ln

.

2

2

d

k

M

M1

M1

Продифференцировав последнее уравнение по М, считая M1 = const, получим, разрешая относительно dM:

dM =		Mdl				.
		1
	2				−1
	kM 2

Анализируя это уравнение, приходим к выводу, что в случае изотермического течения при значении М2 < 1/k в цилиндрической трубе скорость вдоль потока возрастает (при dl>0 и dM>0), а при значениях M2 > 1/k скорость вдоль потока уменьшается. Следовательно, значение M = 1/k для изотермического течения в трубе является таким же критическим, точнее предельным, как значение М = 1 для адиабатного течения. Перейти через это значение М, которое для k =1,4 (в частности, для воздуха) равно М пр==0,845, сохраняя изотермическое течение, невозможно, так как малейшее отклонение числа М от предельного значения в сторону увеличения меняет знак приращения dM и возвращает поток вновь к предельному состоянию.

Найдем массовый расход газа при изотермическом течении без потерь, находя скорость течения при изотермическом течении из уравнения Бернулли:

QM = ρVA .

Определяя скорость при изотермическом течении из уравнения Бернулли, получим:

V = 2RT ln p0 / p .

126

Тогда

QM =	pA	2ln(p0 / p).
	RT

Отметим, что данная формула отличается от аналогичных формул, полученных ранее [3], тем, что расход выражен через параметры торможения, а не через параметры в начальном сечении трубы. При определении расхода, по методу И. А. Чарного, необходимо проводить графическое определение предельных давлений с учетом потерь, причем количественный анализ проделан им лишь для частного случая длинной трубы, когда скоростным напором в начальном сечении и потерями на входе можно пренебречь.

Очевидно, экстремум массового расхода при T = const и p0 = const совпадает с экстремумом функции:

y = lnx x .

Дифференцируя, получим

dy	= −	1	ln x +	1	1/ x	= 0
dx		x2		x	2 ln x

или

ln x = 2 1ln x .

Следовательно, критическое (предельное) отношение давлений будет

p0 = e èëè	pcr =	1	= 0,60653.
pcr	p0	e

Тогда максимальный расход можно подсчитать по формуле:

QM (max)= pRT0 Ae = pART .

График зависимости массового расхода от отношения давлений имеет качественно такой же характер, как и при адиабатном течении (рис. 46), но с другим значением (р/р0)кр..

Впоследних формулах р0—давление торможения газа в ресивере при условии T = const, т. е. в ресивере T0= T.

Вработе [3] фигурирует давление торможения в первом сечении трубы при

температуре торможения T01, полученной путем адиабатного торможения потока с параметрами V1 и T1 = T = const. Второе расчетное соотношение в этом случае имеет вид:

127

p	=			M1					.
p01				k −1			2	k / k −1
		M 1	+			M1
				2

На практике чаще известным является давление р0 в ресивере. Связь между давлениями р1 и р0 может быть получена из уравнения Бернулли для течения без потерь

M12 = k2 ln p0 / p1

или с потерями энергии от сечения 0 - 0 до сечения 1 - 1

RT ln p +	v	2	+ζ	v	2	= RT ln p
	1			1			0
1	2			2

В безразмерном виде

M12 = (1+2ζ )k ln p0 / p .

Учитывая формулу (14.58) выражение для определения массового расхода газа при изотермическом истечении можно записать в следующем виде:

QM =	pA	kM 2 .
	RT

Следует отметить, что полученные формулы для массового расхода газа при изотермическом течении включают давление и число М в конечном сечении. Поэтому они верны как для случая течения идеального газа без потерь, так и в случае течения реального газа с потерями. Разумеется, что конечные параметры газа при постоянных параметрах заторможенного газа в этих случаях будут разными.

Критическое (предельное) отношение давлений можно получить путем предельного перехода в формуле адиабатного течения:

lim(k 2+1)k / k −1= 1e .

k →1

Таким же образом из формулы для определения максимального расхода при адиабатном истечении можно получить формулу для изотермического истечения, так как

lim		2	k +1/ k −1	=	1	.
	k				e
k →1	k +1

128

Полученная система уравнений позволяет легко провести расчет газопровода при изотермическом течении совершенного газа.

В последние годы широкое применение получил метод моделирования течений в различных гидравлических устройствах и машинах на воздухе. Преимущества использования воздуха в качестве рабочего тела (при исследовании гидравлических явлений) хорошо известны. Однако ввиду того, что кинематическая вязкость воздуха при нормальных условиях примерно в пятнадцать раз больше кинематической вязкости воды, для выполнения условий равенства чисел Рейнольдса приходится идти на установки с замкнутым контуром и давлением выше атмосферного. В связи с вышеизложенным целесообразно рассмотреть вопрос о возможности увеличения числа Рейнольдса за счет повышения числа Маха до тех пор, пока не начнет сказываться влияние сжимаемости рабочего тела. Ограничимся рассмотрением изотермических течений, так как практика показала, что при моделировании гидравлических трактов на воздухе реализуется этот случай.

Заменим истинное изотермическое течение воздуха течением гипотетической несжимаемой жидкости с плотностью, равной средней плотности воздуха в начальном и конечном сечениях:

ρ = (ρ1 + ρ2)/2 .

Тогда коэффициент гидравлических потерь по формуле Дарси - Вейсбаха можно подсчитать как

ζ = 2∆pA2 ρ ,

QM 2

где ∆р — разность полных давлений для входа и выхода из тракта.

Потери давления на трение в трубе на участке длиною dx можно подсчитать по формуле Дарси

dp = λ(dx/D) (ρV2/2) .

Интегрируя в предположении λ =const от сечения 1 до сечения 2, удаленного от первого на расстоянии l, получим выражение, приводимое во многих учебниках:

p12 - p22 = λ (l/D) (ρv)2(RT) .

Преобразуем его следующим образом:

(p1 + p2) (p1 - p2) = λ (l/D) (ρ1v1) (ρ2v2) (RT) .

Считая среднее арифметическое и среднее геометрическое значения эквивалентными (при разности давлений 10-20% разница в средних значения меняется от 0,5 до 2%), приходим к расчетной формуле для гипотетической несжимаемой жидкости со средней плотностью:

129

(p1 - p2) = λ (l/D) ((ρср vср2 /2) .

Правомочность предложенной модели течения проверялась для двух случаев. Исследовались местное сопротивление в виде диафрагмы с острой входной кромкой диаметром d = 6 мм, размещенной в трубопроводе с внутренним диаметром D=20 мм, и цельнотянутый трубопровод из хромоникелевой стали длиной 2134±2 мм и диаметром d =10 мм. Перед начальным сечением с кольцевым отбором давления был предусмотрен участок для стабилизации течения длиной около 100 калибров.

Для проверки системы измерений были проведены эксперименты по определению коэффициента Дарси λ в функции числа Re для чисел Маха (М<0,2). Результаты экспериментов представлены на рис. 48, где нанесена также кривая, подсчитанная по формуле Блазиуса, на основании которой можно сделать заключение об удовлетворительном состоянии системы измерений.

Рис. 48. Зависимость коэффициента Дарси в функции числа Рейнольдса

Re для М<0,2

Зависимость коэффициента ζ от числа М, подсчитанного по величине отношения давлений в предположении изоэнтропичности, представлена на рис. 49. Режимы испытаний при варьировании числа М выбирались таким образом, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным и равным 6 105.

Рис. 49. Зависимость коэффициента местных гидравлических потерь ζ от величины числа Маха М и отношения давлений π

130