1. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Сетка. Квадратурная формула общего вида. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона.

Использование квадратурных формул для приближения интегрального уравнения системой линейных уравнений.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид:

. (1)

Здесь – заданная функция, которую называют ядром интегрального уравнения; - заданная функция, которую называют свободным членом или правой частью интегрального уравнения;

 - заданное число, называемое паpаметpом интегрального уравнения;

- искомая функция, подлежащая определению.

Однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

, (2)

очевидно, всегда имеет тривиальное решение . Значения параметра , при которых однородное уравнение (2) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями ядра , а сами нетривиальные решения – собственными функциями ядра. Как известно из теории интегральных уравнений, для интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода возможны только две альтернативы: или 1)неоднородное интегральное уравнение Фредгольма (1) имеет единственное решение при любых правых частях или 2) соответствующее однородное уравнение (2) имеет нетривиальные решения.

Аппроксимация интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений.

Hа отрезке зададим сетку

и для каждого узла сетки pассмотpим интегральное уравнение (1):

. (3)

В выражении (3) для вычисления интеграла воспользуемся квадpатуpной фоpмулой вида:

(4)

Применение квадратурной формулы приводит к выражению

, (5)

откуда после отбpасывания остаточного члена получаем относительно пpиближенных значений pешения в узлах систему линейных алгебраических уpавнений:

. (6)

Как следует из (5) система (6) аппроксимирует интегральное уравнение (1) в узлах сетки с погрешностью .

Введем в рассмотрение матрицу B с элементами Тогда определитель системы (6) можно записать в виде . Если , то система (6) имеет единственное решение, которое можно записать в форме Крамера

.

Решение проблемы собственных значений для ядра.

В случае однородного интегрального уравнения (2) при решении задачи на собственные значения для ядра получаем указанным способом алгебраическое уравнение степени, вообще говоря, относительно . Корни

этого уравнения будут приближенными значениями первых собственных значений ядра . Приближения для собственных векторов находятся из системы (6) при и соответствующем значении параметра .

Оценка погрешности и сходимость метода квадратур

Пусть функция непрерывна на , ядро непрерывно на декартовом произведении и числовой параметр в интегральном уравнении (1) не является собственным значением ядра. Тогда, в силу альтернативы Фредгольма, уравнение (1) имеет единственное решение . В пределе при и решение системы (6) существует, единственно и сходится к решению интегрального уравнения. Таким образом, при достаточно больших N можно считать, что .

При решении системы (6) имеет место вычислительная погрешность. Поэтому фактически найденные значения точно удовлетворяют системе

. (6’)

Погрешность полученного решения в узлах сетки выражается разностью . Вычитая уравнения (6’) из уравнений (5) для погрешности получим систему

. (7)

Отсюда, используя формулы Крамера

,

получаем для погрешности оценку

, где .

При изложении материала за основу взяты

1) страницы 408-420 учебного пособия: Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы: высшей математики, т.2.- Минск: Вышэйшая школа, 1975.

2) страницы 266-275 учебного пособия: Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.