33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

В координатной форме. Рассмотрим тело (V) в пространстве с ограничивающей поверхностью (S).

Рассмотрим некую функцию R(x,y,z), заданную в области (V) и на границе, непрерывную в этой области и на границе вместе со своими частными производными первого порядка. Рассмотрим интеграл . Спроецируем тело на область D. Возьмём точку (x,y).

С делаем то же самое, но с проекцией на оси y и z.

Теперь спроектируем на оси x и z.

Складывая эти формулы, получаем формулу Остроградского-Гаусса: . Формула сводит интеграл от объёма к интегралу по границе.

Если и или и или и , тогда . А если , и , то: .

В общем виде теорема звучит так. Пусть в замкнутой ограниченной области (V) заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные на (V) вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место следующее тождество: .

З апись формулы в векторном виде. Пусть . В обычном виде формула выглядит так:

Левую часть можно записать так: , , . Следовательно: , так как . Мы получили поток вектора через замкнутую поверхность. Правую часть можно записать как дивергенцию (расходимость): . В итоге формула Гаусса-Остроградского в векторном виде: . Читается так: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу по объёму от его дивергенции.

Дивергенцией векторного поля A в точке MÎV называется производная функции по объему в этой точке: .

34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

. {ф. Грина}=

=

. Аналогично c , c .

Теорема: Пусть в некоторой окрестности поверхности S функции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение:

. (Формула Стокса).

.

Инвариантная запись формулы Стокса: Используя выражение для в ортогональном базисе , :

. Укажем на поверхности S определенную сторону, т.е. укажем непрерывное поле единичных нормалей . Используя стандартное обозначение cosx, cosy, cos для координат единичного вектора нормали к поверхности S получим: . Из соотношения видно, левая часть формулы Стокса может быть записана в виде . Скалярное произведение: и элемент площади поверхности S не зависят от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, и при переходе к новому ортогональному базису ', левая часть формулы не изменит своего значения и формы – инвариантна.

Рассмотрим . Пусть – единичный вектор касательной в точках границы L поверхности S, cosa, cosb, cos – координаты этого вектора. , . Т.о – циркуляция векторного поля p по кривой L. - инвариант. Получаем = .

Условия того, что криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования.

Следствие из теоремы Стокса: Необходимым условием того, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, является условие: , ,

35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.

Пусть D – область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в D задано скалярное поле, если каждой точке области D ставится в соответствие некая функция U(M).

Определение по-другому. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки , где M(x,y,z) – точка пространства, – её радиус-вектор.

Определение градиента. Градиентом скалярной функции u(M), определенной и дифф в некоторой области D, называется вектор . . Знак - это вектор Набла.

( – единичный вектор с координатами: ).

Из последнего выражения видно, что максимально, когда совпадает с направлением градиента. Следовательно, градиент показывает направление наибольшего изменения скорости функции.

Градиент скалярного поля – вектор.

Свойства градиента:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Определение векторного поля. Поле градиента. Потенциальные поля, условия потенциальности.

Векторное поле. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой векторной величины (M), то говорят, что в области V задано векторное поле (M). Примеры векторных полей – поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

Если в некоторой декартовой системе координат вектор (M) имеет координаты Р(M), Q(M), R(M), то . Таким образом, задание векторного поля (M) эквивалентно заданию трёх скалярных полей Р(M), Q(M), R(M). Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля.

Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор . Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора.

В общем случае градиент вводится как векторная характеристика скалярного поля — то есть области, каждой точке которой соответствует значение определенного скаляра. Градиент характеризует, насколько быстро меняется скалярная величина в том или ином месте этого поля.

Потенциальные векторные поля. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z): A = grad u =     (16.7).

При этом функция u называется потенциалом данного векторного поля.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (16.7) следует, что , То , = , = . так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что   rot A = 0 -условие потенциальности векторного поля.

Ротором векторного поля (M) в точке называется векторная величина (векторное поле): . Если выразить через оператор Гамильтона набла: равен векторному произведению . Действительно, .