- •10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
- •11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
- •19. (Формула Коши-Адамара),
- •2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •36. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
Дифференциальным уравнением называется соотношение , в котором x – независимая переменная, y – искомая функция. Это обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка.
– уравнение, разрешённое относительно производной.
f(x,y) – заданная, непрерывная в некоторой области D переменных (x,y) функция.
П усть . График функции называется интегральной кривой, – изоклины кривые.
Пусть правая часть уравнения (*) не зависит от y, то есть , тогда .
На рисунке представлено семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра C.
Пусть . Будем считать независимой переменной y, а x – функция от y, то есть . Тогда . Но если и это уравнение имеет корень , то добавляется решение, которое надо добавить к общему семейству, зависящему от параметра C.
Всякая функция вида при подстановке в (*), после чего (*) становится тождеством, является решением (общим решением дифференциального уравнения (*)).
Если C взято равным конкретному числу, то решение φ(x,C0) называется частным решением уравнения (*). - отсюда находится значение C.
У словие Коши – когда указано, какому x0 соответствует y0. Задача Коши: – условие уравнения + условие Коши, то есть . Задачу Коши геометрически можно сформулировать так: среди всех интегральных кривых уравнения (*) найти ту кривую (рисунок слева), которая проходит через заданную точку (x0, y0).
Пример. Дано: и . Решить задачу Коши.
Когда , то :
– частное решение задачи Коши.
38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида: с непрерывными функциями f(х) и g(y). Равенство , где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.
Принцип решения таких уравнений:
Если дано условие Коши, то есть и , то . Если и уравнение имеет корень , то это решение добавляется к основному семейству.
Определение однородной функции. Функция f(x,y) называется однородной функцией своих переменных x и y, если, каково бы ни было число , выполняется следующее: , где p – степень (показатель) однородности. Например, – однородная функция, степень однородности , так как . Степень p может быть равной нулю, если .
Уравнение называется однородным, если функция, стоящая в правой части, является однородной функцией своих переменных. Пусть f(x,y) будет однородной функцией степени 0, то есть . Пусть , тогда . Уравнения такого типа решаются заменой (переходом к новой функции): .
– общее решение.
Если , а , то:
Если , то уравнение имеет корень u0, тогда: – решение: – прямая наряду с семейством.
Общий вид однородного уравнения, если его записать в виде дифференциалов:
То есть M(x,y) и N(x,y) должны быть однородными функциями одной и той же степени однородности.
39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная y’(x) входят в уравнение в первой степени: . P(x), Q(x) – непрерывные функции. Уравнение однородное, если Q(x)=0.
Форма вариации производной постоянной: (1), обнуляем правую часть
. Общее решение уравнения: . Находим производную . Подставим y и y’ в уравнение (1):
, : .
Уравнения Бернулли имеют следующий вид:
Принцип решения:
Если обозначить за Z(x), то . Отсюда . Подставим это выражение выше и получим:
Получили дифференциальное линейное уравнение, принцип решения которого рассмотрен выше.
Пример: , ,