2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.

Главное достоинство цифровых систем управления состоит в возможности реализации любых, сколь угодно сложных, алгоритмов управления, а также адаптации и коррекции управления с учетом изменения внешних условий. Математические модели поведения простых объектов управления в цифровых системах описываются в дискретном времени на основе разностных линейных и нелинейных уравнений.

Система включает две основные части: объект управления и управля­ющую ЭВМ одного из перечисленных выше классов. В состав ЭВМ входят:

АЦП – аналогово-цифровой преобразователь непрерывных сигналов наблюдения за состоянием объекта в дискретную во времени последователь-ность чисел , где – период формирования последовательности (интервал дискретизации); ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь дискретной во времени последовательности выходных команд управления в непре-рывный во времени сигнал управления ;

процессор, реализующий выполнение управляя-ющей программы с учетом текущих данных наблюдения за состоянием объекта управления и априорных данных о модели его поведения;

таймер синхронизации работы системы в реальном времени.

ЭВМ функционирует последовательно в режиме разделения времени и обслуживает отдельные каналы управления различными объектами. Каждый из этих каналов имеет в общем случае свою периодичность дискретизации процессов и свою временную диаграмму обслуживания различных объектов управления. Процесс преобразования сигналов в АЦП и в ЦАП сопровождается их квантованием по уровню – в замене мгновенного значения непрерывнозначной величины (уровня сигнала) ближайшим разрешенным дискретным значением. При равномерном квантовании в АЦП возникают ошибки, определяемые соотношением , n– разрядность представления данных в АЦП; – число уровней квантования; – расстояние между ближайшими уровнями – цена разряда; – диапазон значений амплитуды входного сигнала .При .При выполнении обратного преобразования в ЦАП ошибка определяется следующим образом:

, r – разрядность представления данных управления на выходе ЦАП; – максимальный уровень выходного сигнала, определяющий диапазон возможных значений . Таким образом, главная особенность системы управления с ЭВМ состоит в том, что процесс наблюдения осуществляется в дискретные моменты времени с дополнительной погрешностью канала наблюдения, вносимой шумом (ошибкой) квантования, которой при большой разрядности АЦП можно пренебречь. Условия эквивалентности непрерывных (аналоговых) и дискретных (цифровых) систем управления. Пусть имеется непрерывная детерминированная система, описываемая уравнениями

Предположим, что изменение матриц A(t), B(t), h(t) во времени имеет существенно медленный по сравнению с интервалом дискретизации характер

. В цифровой системе исходный управляющий сигнал имеет дискретный во времени характер . Соответственно на выходе ЦАП формируется непрерывный по времени сигнал ступенчатого вида. Тогда для фиксированного в момент начального состояния x( ) объекта управления текущее состояние в интервале между и можно получить как решение дифференциального уравнения в виде

Где – фундаментальная матрица решения соответствующего однородного уравнения. С учетом того, что не изменяется на интервале и, проводя замену , получим ,

Если работа АЦП и ЦАП синхронизирована во времени с помощью таймера, а время преобразования в них незначительно то можно считать, что процессы и z дискретизируются в одни и те же моменты времени. В результате вместо непрерывной получаем эквивалентную дискретную систему описываемую стандартными уравнениями

,

; . Полученное разностное уравнение является точным для моментов дискретизации процессов во времени, так как оно дает при этом точные значения переменных, описывающих состояния и наблюдения. При выполнении указанных технических условий (синхронизации) для существования эквивалентной цифровой системы управления требуется, чтобы существовала невырожденная матрица

которая не имела бы отрицательных собственных чисел. В противном случае логарифм не существует и нельзя получить взаимно-однозначные отображения непрерывной и дискретной системы. Одновременно эти же условия гарантируют единственность решения для матрицы .

. Аналогичным образом определяется возможность построения эквивалентной цифровой линейной системы при наличии возмущений состояния и шумов наблюдения. При малых интервалах дискретизации цифровая система управления может быть получена из аналоговой путем замены функциональных преобразований, описывающих формирование управления u(t) как сигнала в непрерывном времени, их дискретными эквивалентами. Так, для линейного ПИД-регулятора, реализующего преобразования наиболее общего вида, может быть получен его цифровой эквивалент следующим образом. уравнение ПИД-регулятора имеет вид

, где e(t) – сигнал ошибки рассогласования. Заменяя производную первой разностью, а интеграл по методу прямоугольников – суммой, получим

,

.

Контрольно-измерительный материал № 9