1. Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.

Схема управления на основе П-регулятора (про-порциональный регулятор). – желаемая траектория изменения параметров объекта, которая называется траекторией «невозмущенного» дви-жения или задающим воздействием; – фак-тическая траектория, отличающаяся от желаемой в силу наличия неопределенностей и возмущений ξ;

– отклонение невозмущенного и возмущенного движений; – программное управление, определенное заранее для идеальных условий формирования ; – управляющее воздействие, реально прикладываемое к объекту;

– коррекция программного управления, связанная с отклонением x(t) от желаемой траектории линейной обратной связью. Минимизация квадрата отклонения и квадрата коррекции программ-много управления обеспечивает минимизацию дисперсии ошибки при форми-ровании управляющих параметров объектов и энергетических затрат на управление. Замкнутая П-регулятором система для процессов , описывающих отклонения от , , понимаемых теперь как состояние и управление имеет вид . Ос-новным требованием к выбору П-регулятора яв-ляется его устойчивость. Как следует из приведен-ного соотношения, устойчивость системы опреде-ляется свойствами собственных чисел матрицы . Во многих случаях стабилизировать объекты с помощью П-регулятора не удается и используют другие виды регуляторов. Для их описания имеется следующие обобщенные блок-схемы.

. При описании регуляторов в этом случае удобно частотное представление процесса ( б), основанное на использовании преобразования Лапласа. Для исходной временной функции оригинала ее изображение по Лапласу имеет вид которое определено для функций, растущих не быстрее экспоненты . Передаточной функцией цепи называется отношение

- изображение входной временной функции ; – изображение выходной временной функции . Соответственно на (б) – передаточная функция регулятора, а – объек-та управления. Передаточная функция замкнутой системы от имеет вид , .

Пропорциональные П-регуляторы:

Пропорционально-дифференциальные ПД-регуляторы : , ;

Пропорционально-интегральные ПИ-регуляторы:

Пропорционально-интегродифференциальные ПИД-регуляторы :

.

Пример – задача линейного П-регулирования процесса намотки провода.

Скорость намотки должна быть постоянной . Увеличение радиуса требует уменьшать угловую скорость . Увеличение радиуса приводит к увеличению момента инерции . Уравнение движения катушки при этом имеет вид , – напряжение на входе электродвига-теля; – коэффициент пропорциональности между вращающим моментом двигателя и входным напряжением; – коэффициент трения. Управле-нием является , регулируемой величиной – , которую необходимо менять, чтобы выполнялось . За время обмотки одного ряда радиус изменяется от до

– некоторый коэффициент, характеризующий провод. При можно записать, что . Для круга радиуса r момент инерции пропорционален

, – известные функции. Желаемое значение угловой скорости определяется как функция времени в виде , а номинальное управляющее напряжение в виде

.Для отклонений возмущенных в реальности траекторий соответствующих переменных от невозмущенных можно записать ,

. Окончательно получаем уравнение линейного вида

Критерий качества, подлежащий минимизации в данном случае, естественно выбрать в виде

, ,

первое слагаемое пропорционально кинетической энергии вращающейся катушки; второе слагаемое пропорционально энергии, расходуемой электродвигателем.Получили линейно-квадратичную задачу управления, в которой решение имеет вид P(t)– есть решение уравнения Риккати

, P(T)=0. Это уравнение можно численно проинтегрировать и получить конкретные зависимости для оптимального коэффициента линейной обратной связиK(T).