14. Полюс

Нехай f(z) визн в деяк. околі особливої т.а , 0<|z-a|<r, і нехай т.а – полюс f(z),то

в зв’язку з умовою (1) в дост. малому околі т.а f(z) ≠ 0. Розглянемо в цьому околі ф-цію g(z)=1/f(z) (2)

Ця ф-ція теж аналіт. в дост. малому околі т.а (окрім а). Т.а є особливою точкою для ф-ції g(z), більш того це УОТ тому, що

згідно з зауваж. довизначимо ф-цію g(z) в т.а таким чином: g(а) =0 (4)

тоді ф-ція g(z) в дост. мал. околі т.а (вкл.)

|z-a|<r буде аналітичною і а – нуль ф-ції g(z). Нех. цей нуль має кратність n, тоді ф-цію g(z) можна запис. у вигл.:

де (а) ≠ 0 (6), і ф-ція (z) аналітична в розгл. околі. В цьому випадку ми буд говор., що f(z) в т.а має полюс порядку n.

Викон. і обернене твердження: якщо ф-ція g(z) в т.а має нуль n-ї кратності, то f(z) в т.а має полюс порядку n, f(z) = 1/g(z)

Теор.: для того, щоб f(z) в т.а мала полюс n-го порядку необх. і дост. щоб головна частина Лоранівського розкладаня цієї ф-ції в околі т.а містила скінч. к-сть членів. При цьому номер старшого члена головної частини Лор. розкладання = порядку полюса, тобто

Дов. необх. : ф-ція f(z) в т.а має полюс пор n

аналітична в дост. мал. околі т.а, в т.а має нуль кратності n і може бути записана в вигляді (5) , де (z) – аналіт. в дост. мал. околі т.а і для неї вик. (6). В зв’язку з цим і ф-ція (z)=1/(z) також аналіт. в дост. мал околі т.а (вкл.) як відношення двох аналіт. ф-цій. Тоді ф-цію (z) можна розкласти в ряд Тейлора в околі т.а.

Тобто отримаємо розкл. (7)

дост.: нех. викл. (7) тоді f(z) можна запис. у вигл.

при цьому з (7) => , що ,тоді

, то т.а – полюс, а оскільки g(z) в цій т. має нуль n-ї кратності, то полюс має порядок n.

16. Істотно особлива точка(іот)

Нех ф-ція f(z) визн. в околі 0<|z-a|<r і а – ІОТ цієї ф-ції, тобто

не існує.

Теор.: для того, щоб т.а була ІОТ для f(z) необх. і дост., щоб головна частина Лоранівського розкладання f(z) в околі т.а мала нескінч. к-сть членів, тобто  k  N обов’язково  m  N, m > k, щоб в Лор. розкаданні С_-_m≠ 0.

Дов.: => з двох попередніх теорем.