Частотно-заграждающие фильтры
Частотно-заграждающие цепи второго порядка обладают следующей передаточной функцией
,
где полюсы и нули этой функции, , . Числа и представляют собой вещественные части соответственно полюсов и нулей.
Нули
частотно-заграждающего фильтра всегда
расположены ближе к оси
т.е.
.
Величины
,
вычисляются следующим образом
и
.
В
том случае, когда
АЧХ
имеет минимум
,
определяемый следующим образом
.
Размещение
двух полюсов
,
(
,
)
и двух нулей
, 
(
, 
)
на комплексной плоскости, АЧХ
и ФЧХ
частотно-заграждающего фильтра второго
порядка представлены на Рис. 2..
,
.
Рис. 2.8 – Частотно-заграждающий фильтр второго порядка
В
том случае, когда
(нули располагаются на оси
)
АЧХ фильтра в точке
становится равной нулю (
).
Такой фильтр называют частотно
подавляющим.
В
случае, когда
амплитудно-частотная характеристика
фильтра становится несимметричной.
Передаточная функция частотно-подавляющего
фильтра с несимметричной амплитудно-частотной
характеристикой имеет следующие пределы
Размещение полюсов , ( , ) и нулей , ( , ) на комплексной плоскости, АЧХ и ФЧХ частотно-подавляющего фильтра второго порядка представлены Рис. 2..
Рис. 2.9 – Частотно-подавляющий фильтр второго порядка
Частотно-выделяющие фильтры
Частотно-выделяющие цепи второго порядка описываются следующей передаточной функцией
,
где полюсы и нули этой функции, , . Числа и представляют собой вещественные части соответственно полюсов и нулей.
Полюсы
частотно-выделяющего фильтра всегда
расположены ближе к оси
т. е.
.
Величины , вычисляются следующим образом и .
Размещение полюсов , ( , ) и нулей , ( , ) на комплексной плоскости, амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики частотно-выделяющего фильтра второго порядка представлены на Рис. 2..
Рис. 2.10 – Частотно-выделяющий фильтр второго порядка
Частотно-выделяющие и частотно-заграждающие цепи можно рассматривать как взаимообратные.
Всепропускающие фильтры
Всепропускающие цепи второго порядка описываются следующей передаточной функцией
,
где
полюсы и
нули этой функции,
.
Числа
и
представляют собой вещественные части
соответственно полюсов
,
и нулей
,
причем
.
Полюсы и нули всепропускающего фильтра всегда расположены симметрично относительно оси .
Размещение полюсов , ( , ) и нулей , ( , ) на комплексной плоскости, АЧХ и ФЧХ всепропускающего фильтра второго порядка представлены на Рис. 2..
АЧХ этого фильтра постоянная величина для всех частот. ФЧХ определяется следующим выражением
,
где
.
Рис. 2.11 – Всепропускающий фильтр второго порядка
Групповое время замедления (наклон ФЧХ) определяется следующим выражением
,
На частоте наклон фазово-частотной кривой определяется следующим выражением
,
Максимальная задержка происходит на более низкой частоте и определяется следующим выражением
,
2.4Работа т-образного фильтра
Рассмотрим работу Т- образного фильтра (Рис. 2.) в частотной области. Определим передаточную функцию фильтра
как
отношение выходного сигнала фильтра
к гармоническому входному сигналу
,.
В этом отношении величина
это напряжение на сопротивлении
,
а величина
это напряжение входного сигнала.
Рис. 2.12 – Контуры и узлы схемы Т-образного фильтра
Сопротивление схемы фильтра со стороны источника сигнала опишем следующим выражением
Ток
схемы
опишем выражением
Напряжение
на сопротивлении схемы
определяем выражением
Ток
схемы
опишем выражением
Напряжение
на сопротивлении нагрузки
определяем выражением
Передаточную функцию фильтра определяем следующим выражением
Проведя несложные преобразования, получим более простое выражение для передаточной функции фильтра
Рассмотрим работу Т- образного фильтра (Рис. 2.12) во временной области. Запишем систему уравнений, используя первый и второй законы Кирхгофа, составленную по узлам и контурам схемы фильтра:
для узлов а) и б) первый закон выглядит следующим образом
;для контура 1), второй закон будет
;для контура 2), второй закон будет
;для контура 3), второй закон будет .
Пусть некоторой Т- образный фильтр задан схемой, представленной на Рис. 2..
Рис. 2.13 – Пример схемы Т- образного фильтра
Сопротивления
,
,
фильтра в частотной области выглядят
следующем образом:
,
,
.
Для
величин
,
,
определенных в , , АЧХ и ФЧХ передаточной
функции
фильтра вычисляется по формуле с
учетом величин
,
,
,
,
.
Графики
АЧХ и ФЧХ передаточной функции
этого фильтра с величинами
,
,
,
,
,
построенные средствами пакета MathCAD,
представлены на Рис. Г..
Для описания работы фильтра (Рис. 2.) во временной области составим систему интегро-дифференциальных и алгебраических уравнений (используя законы Ома и Кирхгофа). Для контуров 1), 2), 3) и узла а) система уравнений выглядит следующим образом:
.
Независимые
начальные условия уравнений определим
по схеме фильтра для тока
и напряжений
,
.
Независимые начальные условия будут
следующие:
,
,
.
Зависимые
начальные условия для уравнений токов
,
и производной
определим из уравнений , , . Зависимые
начальные условия будут выглядеть
следующим образом:
,
,
.
Дифференцируя, левые и правые части интегро-дифференциальных уравнений системы , получим систему с линейными неоднородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и алгебраическим уравнением
.
Так как в системе три дифференциальных уравнения являются линейно-зависимыми, то оставляем два дифференциальных уравнения (они будут линейно независимы) и оставляем алгебраическое уравнение. Таким образом, получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными
со следующими начальными условиями
,
,
,
.
Введя
дополнительную переменную
,
получим следующую нормальную систему
линейных неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
.
Решение системы уравнений средствами пакета MathCAD представлено на Рис. Г..