- •1.Опред. Ф-ции неск. Перем. Предел и непрер. Ф-ции.
- •2.Частные произв. И частные дифференциалы ф-ции двух переменных.
- •3. Производные сложных и неявно заданных ф-ций. Примеры.
- •4.Понятие дифференцируемости ф-ции двух переменных. Полный диффер.
- •5.Производная по направлению. Градиент .
- •6. Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
- •7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8 . Экстремумы функций двух переменных.
- •9. Нахождение наибольшего и наименьшего значений на компакте. Понятие об условном экстремуме.
- •Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Геометрически смысл ои.
- •12.Интегралы с переменным верхним пределом.
- •14.Замена переменной в ои.
- •15.Интегрирование по частям в ои.
- •16. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •2) Интегрирование по (-∞;b] — полуоси
- •4) V.P. Интеграл
- •17. Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •18. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат. Примеры
- •19. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Примеры
- •20. Длина дуги кривой. Примеры
- •24. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Геометрическая интерпретация. Теорема существования.
- •25. Ду с разделяющимися переменными и однородные.
- •26.Линейные ду и способы их решения.
- •27. Ду второго порядка, допускающие понижение порядка. Примеры
- •28. Ду второго порядка. Общие понятия примеры
- •29. Линейные ду n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •32. Система линейных ду и их решения методом сведения к ду
- •33.Двойной интеграл. Осн. Понятия и определение
- •34. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
- •35. Основные свойства двойного интеграла
- •36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •38. Приложения двойного интеграла.
- •1.Объем тела
- •2.Площадь плоской фигуры
- •4.Статические моменты
- •39.Тройной интеграл. Основные понятия
- •40. Вычисление тройного интеграла в декартовых системах
- •41.Замена переменной в тройном интеграле.
- •4 2.Приложения тройного интеграла
- •43. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.
- •44. Криволинейные интегралы второго рода, их свойства и вычисление. Связь между кри 1 и кри2.
- •45. Приложения кри 1-го рода (длина кривой, площадь цилиндрической поверхности, масса кривой, статистические моменты).
- •46. Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал.
- •47. Приложения кри 2-го рода(площадь плоской фигуры, работа переменной силы).
- •49. Ротором (или вихрем) векторного поля
- •52. Формула Стокса. Если функции р(х; у; z), q(X у; z) и r(X у; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности s, то имеет место формула
- •53. Основные понятия теоории рядов. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •55. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера
- •56. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак Коши. Степенной признак сравнения.
- •57. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •58.Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60.Теорема Абеля(о сходимости степенных рядов)
- •62.Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •63. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
- •64. Применение рядов к приближенным вычислениям значений функции, определенных интегралов.
- •65.Приближенное решение ду.
- •66. Дискретное вероятностное пространство
- •67. Классическое вероятностное пространство
- •68.Теорема сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события.
- •69. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •70. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом.
- •71. Дискретные случайные величины и способы их задания. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.
- •72.Непрерывные случайные величины и способы их задания. Равномерное, показательное распределение.
- •73. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Определение случайной величины.
- •74. Свойства плотности распределения св. Примеры. Ряд распределения
- •75. Математическое ожидание св и его свойства
- •76. Дисперсия св и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.
- •78 Нормальный закон распределения. Правило «трех сигм».
- •79 Схема Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •82.Числовые характеристики двумерной случайной величины:
- •83.Условия независимости случайных величин:
- •84 Коэффициент корреляции св и его свойства.
- •85.Понятие о законе больших чисел. Теорема Бернулли
1.Опред. Ф-ции неск. Перем. Предел и непрер. Ф-ции.
Пусть задано мн-во D упорядоченных пар ч-л(x;y). Соответствие f, которое каждой паре ч-ел(x;y) ϵ D сопоставляет од-но и только од-но ч-ло z ϵ R, наз. ф-цией двух переменных, опред. на множ. D со знач. в R, и запис. в виде z=f(x;y). При этом x и y назыв. независимыми переменными(аргументами), а z – зависимой переменной(ф-цией).
Примером ф-ции двух перемен. может служить пл.S прямоугольн. со сторонами, длины которых = x и y: S=xy. Обл. определ. этой ф-ции явл. мн-во {(x;y) | x>0,y>0}.
В частности, обл. определения может быть вся плоскость или ее часть, ограничен. некоторыми линиями. Линию, ограничивающую обл. наз. границей обл. Точки обл., не лежащие на границе, наз. внутренними. Обл., состоящая из одних внутренних точек, наз. открытой. Обл. с присоединенной к ней границей наз. замкнутой, обознач. D. Примером замкнутой обл. явл. круг с окружностью.
Значен. ф-ции z=f(x;y) в т.Mо( ) обазн. =f( ) или =Mo и наз. частным значением ф-ции.
Пусть ф-ция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности т. Мо( ), кроме, быть может самой этой точки . Число А наз. пределом ф-ции z=f(x;y) при x→ и y→ , если для любого ε>0 существ. δ >0 такое, что для всех x и y и удовлетворяющих неравенству < δ выполняется неравенство |f(x;y)-A|<ε. Записывают A= . Из определ. следует, то что если предел сущ., то он не зависит от пути, по которому М → .
Ф-ция z=f(x;y) (или f(M)) наз. непрерывной в точке Мо( ; ),если она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б) имеет предел ,
в) этот предел равен знач. ф-ции z в т. Мо,т.е. или
Ф-ция, непрерывная в каждой т. некоторой обл. наз. непрерывной в этой обл. Точки, в которых непрерывность нарушается ,наз. точками разрыва этой ф-ции.
2.Частные произв. И частные дифференциалы ф-ции двух переменных.
Пусть задана ф-ция z=f(x;y). Так как х и у – независимые перемен. то одна из них может изм-ся, а другая сохранять свое знач. Дадим независимой переменной х приращение x, сохраняя знач. у неизменным. Тогда z получит приращение, которое наз. частным приращением z по х и обозн. z. Итак, z=f(x+ x;y) - f(x;y). Аналогично получаем частное приращение z и у: z=f(x;y+δy) – f(x;y). Полное приращение z ф-ция z определяется равенством z=f(x+ x;y+ y) – f(x;y). Если сущ. передел = , то он наз. частной производной ф-ции z=f(x;y) в т. М(х;у) по переменной х и обознач. одним из симвалов: , , . Частные производные по х в т. Мо( ; ) обычно обазнач. символами ( ; ), | .
Частные производные и назыв. частными производными первого порядка. Эти ф-ции могут иметь частные производные , котор. назыв. частными производными второго порядка. Они опред. и обознач. :
( ) = = = (x;y); ( )= = = (x;y);
( )= = = (x;y); ( ) = = (x;y). Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным , назыв. смешанной частной производной, например: , , .
3. Производные сложных и неявно заданных ф-ций. Примеры.
Если z = f(x;y) — дифференцируемая в т. М(х;у)ϵD ф-ция и х=х(t) и y=y(t) — дифференцируемые ф-ции независимой переменной t, то производная сложной ф-ции z(t)=f(x(t); y(t)) вычисляется по ф-ле = + (1) Частный случай: z=f(x;y), где y=y(x) т.е. z=f(x;y(x)) – сложная ф-ция одной независимой переменной х. Этот случай сводиться к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно ф-ле (1) имеем: + или = + (2) . Ф-ла (2) носит название ф-лы полной производной. Найти и , если z =ln( + ), x=u v, y= . Решение: Найдем = .Упростим правую часть полученного равенства: = (x·v+ ) = (uv·v+ )= = ,т.е. . Ф-ция z=f(x;y) назыв. неявной, если она задается ур-ем F(x;y;z)=0, неразрешенным относительно z. Частные производные по x и y ф-ции, тождественно равной 0, также равны 0: F(x;y;f(x;y)) = + · =0 (y-считаем постоянным), F(x;y(x;y)) = + считаем постоянным ), откуда = и = , ( Имеет место теорема существования неявной ф-ции двух переменных: если ф-ция F(x;y;z) и ее производные (x;y;z), (x;y;z), (x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности т. Мо( ), причем F( то сущ. окресность т. , в которой ур-ние F(x;y;z)=0 определ. единственную ф-цию z=f(x;y), непрерывную и дифференцируемую в окрестности т. ( и такую, что f( )= . ,
( ). Найти частные производные ф-ции z, заданной ур-нием
Решение: Здесь F(х;y;z)= По ф-лам
= и = , ( имеем: =+ , =