- •1 Определение производной. Геометрический смысл
- •2 Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3 Правая и левая производная
- •4 Дифференцируемость функции
- •5 Непрерывность дифференцируемой функции
- •6 Дифференциал функции. Геометрический смысл Понятие дифференциала
- •7 Дифференцируемость суммы, произведения, частного
- •8 Дифференцируемость сложной функции
- •9 Инвариантность формы дифференциала
- •10 Понятие обратной функции. Производная обратной функции
- •12. Дифференциал высшего порядка
- •13Дифференцирование функций заданных параметрически
- •14. Теорема Ролля
- •]История
- •16. Теорема Коши о среднем значении
- •]Отношение бесконечно больших
- •]Примеры
- •18. Формула Тейлора — Пеано
- •19. Признак возрастания (убывания) функции.
- •20. Экстремум
- •[Определения
- •]Замечание
- •[]Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •]Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •21. Достаточное условие экстремума
- •1) Первое достаточное условие:
- •2) Второе достаточное условие
- •3) Третье достаточное условие
- •22Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •24. Асимптота
- •Виды асимптот графиков ]Вертикальная
- •]Горизонтальная
- •]Наклонная
- •]Свойства первообразной
- •]Техника интегрирования
- •]Другие определения
- •26. Свойства неопределённого интеграла
- •28. Интегрирование по частям
- •]Получение формул ]Для неопределённого интеграла
- •]Для определённого интеграла
- •]Примеры
- •29. Интегрирование рациональных функций
- •30 Интегрирование простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого типа
- •Интегрирование простейших дробей второго типа
- •Интегрирование простейших дробей третьего типа
- •Интегрирование простейших дробей четвертого типа
- •31 Интегрирование иррациональных функций
- •Определение
- •Свойства
- •Геометрический смысл
- •36 . 11.2. Свойства определённого интеграла.
- •37. Теорема о среднем в определённом интеграле
- •]Доказательство
- •39. Теорема Ньютона — Лейбница
- •]История
- •41. Интегрирование по частям
- •]Получение формул ]Для неопределённого интеграла
- •]Для определённого интеграла
- •]Примеры
- •42. Вычисление площадей плоских фигур
- •]Длина дуги как параметр
1 Определение производной. Геометрический смысл
Ответ:
Определение: пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки хо. Предел отношения приращения Δy функции в этой точке (если он существует) к приращению Δх аргумента, когда Δх→0, называется производной функции f(x) в точке хо.
Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
2 Уравнения касательной и нормали к кривой
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок). Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде
y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде
3 Правая и левая производная
По аналогии с пределами вводится понятие правой и левой производных:
Если существует производная в точке то существуют левая и правая производная в этой же точке, причем
Обратное также верно: если то производная в точке существует и равна левой и правой производным.
Если функция f терпит разрыв первого рода в точке x0, то выражения
называется соответственно левой и правой в расширенном смысле производными функции f в точке x0.
4 Дифференцируемость функции
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде
|
Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) , |
|
где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .
Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.
Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.
|
df(x0) = A · Δx. |
|
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную.