- •1 Определение производной. Геометрический смысл
- •2 Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3 Правая и левая производная
- •4 Дифференцируемость функции
- •5 Непрерывность дифференцируемой функции
- •6 Дифференциал функции. Геометрический смысл Понятие дифференциала
- •7 Дифференцируемость суммы, произведения, частного
- •8 Дифференцируемость сложной функции
- •9 Инвариантность формы дифференциала
- •10 Понятие обратной функции. Производная обратной функции
- •12. Дифференциал высшего порядка
- •13Дифференцирование функций заданных параметрически
- •14. Теорема Ролля
- •]История
- •16. Теорема Коши о среднем значении
- •]Отношение бесконечно больших
- •]Примеры
- •18. Формула Тейлора — Пеано
- •19. Признак возрастания (убывания) функции.
- •20. Экстремум
- •[Определения
- •]Замечание
- •[]Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •]Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •21. Достаточное условие экстремума
- •1) Первое достаточное условие:
- •2) Второе достаточное условие
- •3) Третье достаточное условие
- •22Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •24. Асимптота
- •Виды асимптот графиков ]Вертикальная
- •]Горизонтальная
- •]Наклонная
- •]Свойства первообразной
- •]Техника интегрирования
- •]Другие определения
- •26. Свойства неопределённого интеграла
- •28. Интегрирование по частям
- •]Получение формул ]Для неопределённого интеграла
- •]Для определённого интеграла
- •]Примеры
- •29. Интегрирование рациональных функций
- •30 Интегрирование простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого типа
- •Интегрирование простейших дробей второго типа
- •Интегрирование простейших дробей третьего типа
- •Интегрирование простейших дробей четвертого типа
- •31 Интегрирование иррациональных функций
- •Определение
- •Свойства
- •Геометрический смысл
- •36 . 11.2. Свойства определённого интеграла.
- •37. Теорема о среднем в определённом интеграле
- •]Доказательство
- •39. Теорема Ньютона — Лейбница
- •]История
- •41. Интегрирование по частям
- •]Получение формул ]Для неопределённого интеграла
- •]Для определённого интеграла
- •]Примеры
- •42. Вычисление площадей плоских фигур
- •]Длина дуги как параметр
20. Экстремум
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
[Определения
Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда
называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
называется точкой абсолютного минимума, если
Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
]Замечание
Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,
[]Необходимые условия существования локальных экстремумов
Из леммы Ферма вытекает следующее:
Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .
(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)
]Достаточные условия существования локальных экстремумов
Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и
является точкой локального максимума. А если
и
то является точкой локального минимума.
21. Достаточное условие экстремума
1) Первое достаточное условие:
Если:
а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.
б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом
Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.
б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет.