39. Методика устных и письменных вычислений, их анализ и сравнение. Общие и частные приёмы устных вычислений. Использование калькулятора. Письменные вычисления.

Для нахождения результатов при сложении и вычитании учащиеся знакомятся с различными вычислительными приемами. Любой вычислительный при­ем можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с теми или иными математическими поняти­ями.

В курсе математики учащиеся сначала знакомятся с приемами сложения и вычитания в пределах 10, затем с приемами сложения однозначных чисел с переходом через десяток и вы­читания из двузначного числа однозначного в пределах 20, приемами сложения и вычитания в пределах 100. Рассмотрим особенности вычисли­тельных приемов в той же последовательности.

Изучение сложения и вычитания в пределах 10 можно провести по такому плану:

1. Подготовительный этап: раскрытие конкретного смысла действий сложения и вычитания, запись и чтение приёмов, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания образования натуральной последовательности чисел.

2. Изучение приёмов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4.

3. Изучение приёма перестановки слагаемых для случаев прибавить 5, 6, 7, 8, 9.

4. Изучение приёма вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычесть 5, 6, 7, 8, 9.

Подготовительная работа к обучению учащихся операциями сложения и вычитания в пределах первого 10 начинается уже с первых уроков. Основой изучения операции сложения явл. Практическое действие по объединению двух данных множеств предмета. При решении задач уч-ся уясняют, что операции объединения соответствует действие сложения, операции удаления части множества – действие вычитания. Делается вывод, что когда прибавляют, становится больше, чем было, а когда вычитают становиться меньше.

К концу изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся должны прочно знать, что последующее число получается из предшествующего присчитыванием единицы, а предшествующее чи­сло получается из последующего отсчитыванием единицы, и свободно выполнять прибавление и вычитание единицы (без пересчитывания). Их следует подвести к выводу: «Прибавить число 1 к данному числу — значит назвать следующее за ним число; вычесть число 1 из данного числа - значит назвать (непосредственно) предшествующее ему число». На первом уроке, посвященном изучению операций сложения и вычитания, систематизируются знания учащихся по прибавлению и вычитанию числа 1, составляются и заучиваются таблицы «Прибавить 1», «Вычесть 1». Изучая нахождение сумм и разностей вида а ± 1, нужно учитывать следующее: хотя все суммы и разности вида а ± 1 уже рассматривались при изучении нумерации, но тогда при выполнении упражнений использовались иллюстрации и счетный материал, сейчас, чтобы выполнить подобные упражнения, необходимо хорошо знать взаимное расположение чисел в натураль­ном ряду. При затруднениях можно использовать в качестве нагляд­ного пособия" натуральный ряд чисел, например последовательность чисел на линейке с сантиметровой шкалой.

Усвоением учащимися таблиц прибавления и вычитания числа 1 заканчивается первый этап обучения сложению и вычитанию в преде­лах 10. Второй этап — обучение прибавлению и вычитанию чисел 2., 3, 4. Программой предусматривается использование при этом метода прибавления и вычитания по частям, а также знаний учащих­ся о составе чисел 2, 3, 4. При подготовке выполняются упражнения, в которых число 1 прибавляется или вычитается два риза, т. е. упражнения вида а + 1 + 1 или Ь — 1 — 1. В результате учащиеся приходят к обобщению: «Если прибавить 1, а затем еще раз 1, то 1кчто прибавим 2; если вычесть 1, а затем еще 1, то вычтем 2». Выпол­нение упражнений при необходимости можно сопровождать действиями с предметами. Затем учитель приступает к обучению прибавления и вычитания числа 2. Вначале вспоминается состав числа 2. Первое упражнение можно выполнить, опираясь на действия с пред­метами. Пусть, например, решается упражнение 3 + 2. Учитель говорит учащимся: «Пусть уже посажено 3 сливы. Надо посадить еще 2 сливы. Как мы будем это делать?» Наиболее вероятным ответом будет такой: «Сначала посадим одну сливу, а затем еще одну». Делается вывод: «Итак, чтобы к числу 3 прибавить число 2, можно прибавить 1, а затем к полученному числу еще 1; после прибавления I к 3 получим 4., а после прибавления 1 к 4 получим 5». На доске записывается:

3+2=5 3+1=4

4+1=5,

3+2=5

причем подчеркнутое число 5 записывается последним. Подобным образом поясняется и процесс вычитания числа 2. В дальнейшем такие упражнения выполняются с пояснениями. Например, вычисляя разность 6 — 2, учащиеся говорят: сначала вычтем из 6 число 1, получим 5, затем из 5 вычтем еще 1, получим 4, значит, если из 6 вычесть 2, получим 4. На последующих уроках учащиеся, выполняя многочисленные упражнения, с одной стороны, осваивают метод прибавления по частям, с другой — постепенно составляют таблицы «Прибавить 2» и «Вычесть 2», которые подлежат заучива­нию. Выполняя упражнения, следует иметь в веду, что подробные пояснения при вычислениях даются только на первых уроках, затем

они сокращаются и, наконец, исключаются совсем. Итогом обучения должно быть заучивание всех табличных случаев наизусть.

Методика изучения прибавления и вычитания чисел 3 и 4 в целом «такая же, как и прибавления и вычитания числа 2. Вначале вспоми­нается состав числа 3, а затем 4. При этом число 3 представляется либо как сумма 2 + 1, либо как сумма 1+2, а число 4 как сумма 2 + 2. Можно использовать и такие представления числа 4, как 3+ 1 или 1 +3. Представление чисел 3 и 4 суммами единиц нецелесообраз­но. Как видим, метод прибавления (вычитания) по частям с ростом прибавляемого (вычитаемого) числа разнообразится все большим числом приемов, каждый из которых связан с тем или иным представлением прибавляемого (вычитаемого) числа.

Учащиеся постепенно осваивают и запись решения упражнений

цепочкой равенств, неявно знакомясь со свойством транзитивности отношения равенства. Если вначале решение записывается стол­биком 5+4=9 или 9-4 =5

5+2=7 9—3=6

7+2=9 6—1=5

то в дальнейшем используются более краткие записи.

Работа по изучению случаев а±3, а ±4 заканчивается составле­нием таблиц сложения и вычитания. На последующих уроках основ­ное внимание уделяется упражнениям на запоминание таблиц и со­става чисел: 6=4 + 2; 7=5 + 2; 8=6 + 2; 9=7 + 2; 10=8 + 2; 6=3 + 3; 7=4 + 3 и т. п.

Для поддержания у учащихся интереса к учебе необходимо раз­нообразить виды упражнений, использовать игры, математические диктанты. Эффективно использование нестандартных упражнений, в частности по исправлению ошибок в неправильных решениях. С интересом воспринимаются и упражнения на определение пропу­щенного числа или знака операции в записях. К тому же такие упражнения — подготовка к введению понятий переменной и уравнения. Можно предлагать упражнения, в которых одновременно требуется подобрать и число, и знак опе­рации.

На третьем этапе обучения сложению и вычитанию в пределах де­сяти учащиеся осваивают случаи а + 5, а + 6, а + 7, а + 8, а + 9. При этом второе слагаемое больше первого, прибавление его по частям осуществить трудно. Перед учащимися ставится проблема отыскивания более простого метода.

Учитель знакомит их с коммуникативным (переместительным) законом сложения. При этом не обязательно добиваться запоминания учащимися названия свойства, важно, чтобы они усвоили смысл этого закона. Коммутативный закон по­ясняется с помощью упражнений, в основе которых лежит рассмот­рение некоторого множества однородных предметов, различающихся некоторыми свойствами. При этом можно использовать, напри­мер. Учащиеся определяют количество больших кругов, затем малых и составляют сумму 2 + 5. После этого они определяют количество малых кругов, затем количество больших кругов и состав­ляют сумму 5 + 2. Равенство этих сумм для учащихся очевидно: общее число кругов на рисунке при любом способе счета одно и то же. Выполняется запись: 2 + 5=5 + 2=7. Возможны и другие упражне­ния, например подсчет кругов в первом и во втором рядах и т. п. Выполнив ряд подобных упражнений, учащиеся с помо­щью учителя делают вывод: от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Ученики понимают, что все случаи прибавления большего числа к меньшему в пределах первого десятка сводятся к уже известным им, если переставить слагаемые. Выполняя упражнения, школьники убеждаются в полезности применения перестановки слагаемых. Составляется таблица случаев, которые необходимо знать на память:

К концу изучения темы «Десяток» учащиеся должны хорошо знать таблицу сложения и состав чисел до 10.

Четвертый этап обучения сложению и вычитанию — освоение учащимися связи между суммой и слагаемыми: если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, получится другое слагаемое. Подготовительная работа ведется с самого начала изучения операций сложения и вычитания, решаются специальные упражнения на сло­жение и вычитание с использованием одного и того же рисунка. Например, пусть на рисунке изображены 4 муравья, навстречу кото­рым движутся еще 3 муравья. Учащиеся вместе с учителем вы­ясняют, сколько муравьев изображено справа (4), сколько — сле­ва (3), сколько муравьев всего (4 + 3=7). Затем ученики опреде­ляют, сколько муравьев на рисунке (7), сколько справа (4), сколько слепа (7 — 4=3). Аналогично составляется равенство 7—3 = 4. Равенства 7 — 4 = 3и7 — 3 = 4сравниваютсясравенством 4 + 3 = 7. Рассмотрев достаточное количество таких примеров, на отдельном уроке учащихся подводят к формулировке предложения, выражаю­щего связь между суммой и слагаемыми: если, из суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое; если из суммы вы­честь второе слагаемое, то получится первое слагаемое. Знание этой связи в дальнейшем используется для нахождения результатов вычитания. Подготовительными являются упражнения на дополнение од­ною числа до другого (сколько нужно прибавить к 6, чтобы получить 8) или упражнения с использованием квадратиков Конечной целью изучения сложения и вычитания в концентре «Десяток» является заучивание учащимися табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах де­сяти.

В этом же концентре усваивается терминология: «слагаемое», «сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», например, рассматривая с учениками равенство 5— 2=3, учитель сообщает им, что 5 — уменьшаемое, 2 — вычитаемое, 3 — разность. Смысл этих названий можно пояснить так: из числа 5 вычитают, оно уменьшается, поэтому называется уменьшаемым; число 3 вычитается и называется вычитаемым, 5—2, или 3, показывает разницу, то, что осталось, на сколько число 5 отличается от числа 2, поэтому эту разницу называют разностью.

При изучении сложения и вычитания в пределах десяти учащиеся усваивают основные свойства числа 0. В конце изучения нумерации чисел первого десятка оно было введено как характеристика пустого множества. Изучая данную тему, школьники усваивают индуктивно следующие свойства числа 0: а — а = 0, а + 0 = а, 0 + а = а, а — 0 = а.

Таким образом, при изучении операций сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся должны усвоить: таблицы сложения и вычитания; состав чисел, термины (слагаемое, сумма, уменьшаемое, вы­читаемое, разность); связь между операциями сложения и вы­читания.