Вопрос 46. Алгебраическая пропедевтика

В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Применение обобщений при изучении арифметического материа­ла делает возможным и необходимым использование в начальном обучении Математике элементов алгебры, а также математической символики. В начальных классах учащиеся начинают использовать букву как математический символ, знакомятся с понятиями алгеб­раического выражения, равенства, неравенства, уравнения, полу­чают первоначальное представление о решении задач с помощью составления "уравнений.

Введение элементов алгебры в начальное обучение математике имеет своей целью главным образом более полное и более глубокое раскрытие арифметических, понятий, доведение обобщений уча­щихся до более высокого уровня, а также создание предпосылок для успешного усвоения в дальнейшем курса алгебры.

Таким образом изучение элементов алгебры в начальном обу­чении математике тесно связывается с изучением арифметики. Это выражается, в частности, и в том, что, например, уравнения и не­равенства решаются не на основе применения алгебраического ап­парата, а на основе использования свойств арифметических дейст­вий, на основе взаимосвязи между компонентами и результатами этих действий.

И еще необходимо отметить, что формирование каждого из рас­сматриваемых алгебраических понятий не доводится до формально­логического определения.

§ 1. Буквенная символика в начальном обучении математике

Уже в 1 классе возникает необходимость введения символа, обозначающего неизвестное число. В учебной и методической ли­тературе с этой целью для учащихся I класса предлагались самые разнообразные знаки: многоточие, "обведенная пустая клетка, звез­дочки, вопросительный знак и т. п. Но так как все эти знаки пола­гается использовать в другом назначении, то для записи неизвест-

ного числа следует использовать общепринятый для этих целей знак — букву. В дальнейшем буква как математический символ используется в начальном обучении математике также для записи обобщенных чисел, то есть когда имеются в виду не одно какое-либо целое неотрицательное число, а любое число. Такая необходимость возникает, когда надо выразить свойства арифметических действий, Буквы необходимы для обозначения величин и записи формул, от­ражающих зависимости между величинами.

В I классе учащиеся применяют букву лишь для одной цели — обозначение неизвестного искомого числа. Для этого здесь исполь­зуется всего лишь одна буква — х (икс).

Учащимся показывается, как перевести на язык математиче­ских символов задание, выраженное словесно: «К неизвестному числу прибавили 2 и получили 6. Найти неизвестное число». Учитель объясняет, как записать эту задачу: обозначить неизвест­ное число букзой х, затем показать при помощи знака + , что к не­известному числу прибавили 2 и получили число, равное 6, что и записать, используя знак равенства: х + 2 — 6. Теперь надо вы­полнять действие вычитания, чтобы по сумме двух слагаемых и од­ному из них найти другое слагаемое.

Основная работа с использованием буквы как математического символа выполняется во- II и в III классах.

В самом начале второго года обучения, в период повторения пройденного в первом классе, учащиеся знакомятся с написанием и чтением некоторых латинских букв, применяя их сразу для записи примеров с неизвестным числом (простейшие уравнения) и для обозначения точек, отрезков, вершин треугольника. Учитель об­ращает внимание учащихся на то, что для обозначения неизвест­ного числа можно употреблять не только букву х, как они делали в I классе, но и любую букву, например: а + 4 = 32,"И + 3 =10, 6 — т — 5 и т. п.

Во II классе и в последующих классах буквы используются для записи в обобщенном виде ранее изученных на конкретных числовых примерах свойств арифметических действий. Так, уча­щиеся второго классса в самом начале учебного года решают ряд примеров на сложение:

3+2 = 5 2+3 = 5 3+2=2 + 3

5+7= 12 7+ 5= 12 5+7=7+5

14 + 20 = 34 20 + 14 = 34 14 + 20 = 20 + 14

25+13 = 38 13 + 25 = 38 25+13=13 + 25

Учащиеся формулируют переместительное свойство сложения: при изменении порядка слагаемых сумма (ее значение) не изменя­ется. Это свойство можно записать, обозначив первое слагаемое буквой а, а второе слагаемое буквой Ь. Так, а + Ь = b + a.

В дальнейшем использование буквенной символики позволит достичь более высокого уровня обобщения также вновь изучаемых

244

245

свойств действий. Например, в учебнике для II класса предлагается вычислить значения выражений а • (Ь + с) и а ■ b + a • с при разных значениях букв а, Ь, с. Сравнив полученные результаты, учащиеся приходят к выводу, что а • (Ь + с) —а • Ъ + а • с (см. учебник).

В таких записях каждая буква может обозначать любое число из области изученных учащимися чисел (во II классе—сначала любое число в пределах 100, а затем — в пределах 1000). При этом под одной и той же буквой как в левой, так и в правой части ра­венства подразумевается одно и то же число.

При использовании букв для записи выражений суммы, разно­сти, произведения и частного в общем виде важно раскрыть перед учащимися новый смысл буквы. Так, если раньше дети понимали под буквой только неизвестное число в равенствах вида х + б =27, то теперь в выражении буква может принимать множество значе­ний (множество чисел).

Усвоению этого материала во втором классе способствует сис­тема упражнений на чтение и запись выражений, на вычисление значений выражений при заданных значениях букв. Например:

1. Запишите сумму чисел cud. Вычислите сумму чисел, с=32, d = 7; с = 14, d = 30; с =. 40, d = 40.

2. Запишите сумму чисел Ь и d. Подберите сами по % значения каждого из слагаемых и вычислите сумму.

3. Прочтите выражение 12 — с. Выпишите все значения, кото­рые может принимать буква с.

12 —с

_с = 0 12— 0= 12

_с= 1 12— 1 = 11

с = 2 12— 2 = 10

с = 3 12— 3=9

с = 11 12— 11 = 1

с = 12 12— 12 = 0

4. Заполните таблицы, используя наиболее удобные способы вычислений.

а	Ь	с	(а + Ь) . с	(а + Ь) + е
22	4	3
13	18	2

а	27	24	21	18
а*3
ккк	4	5	6	7
3*к

В III классе продолжается работа по вычислению значений вы­ражений при больших значениях входящих в них букв. Напри­мер, заполните таблицы:

k	3706			720010
с		4793	35663
k-\-c	5109		. 82407
k — c		6357		236045

Найдите из таблицы значения k :
k	0
(k + 50) . 3	150	180	600		960	1200

В третьем классе также решаются задачи с буквенными данны­ми. Например: 1) «В колхозе две пасеки. С одной из них рассчиты­вали получить а кг меду, а с другой b кг. С первой получили столь­ко, сколько ожидали, а со второй на с кг меньше, чем ожидали. Сколько килограммов меда получили с двух пасек?»

2) Решите задачу при а = 1 250, b — 970, с = 80.

Аналогичные упражнения можно найти в учебнике математики для III класса.

Работа по вычислению значений буквенных выражений при раз­личных значениях букв, наблюдению за изменением результатов вычислений в зависимости от изменения компонентов действий за­кладывает основы для формирования понятия о переменной начи­ная со второго класса.

С еще одним употреблением букв учащиеся знакомятся при обобщении ряда числовых неравенств. Пусть учащиеся записали ряд неравенств:

0 <3

1 <3

2 <3

Эти три неравенства можно записать в виде одного неравенства, обозначив числа, стоящие в левых частях неравенств, буквой, на­пример, так: с < 3. • В этом неравенстве буква обозначает не одно число и не любые числа, а некоторые числа, а именно: числа 0, 1 и 2, каждое из которых меньше трех.