Двойственные процессы

Удобно рассматривать вместе с процессами Q и W тесно свя­занные с ними процессы Q* и W*.

Процесс Q*. Рассмотрим определенный выше процесс образо­вания очереди Q = {ζ₀; N_r, r = 0, 1, 2, .. .}. Предположим, что числа требований, поступающих в течение 1-го, 2-го, ..., r-го ... периодов обслуживания, равны соответственно v1*, v2*, ..., v_n*, ..., где {v_r*} —двойственная последовательность для {v_r}, определенная в § 9. Положим N*_Q = 0 и N*_r = v1* + ... + v_r* для r= l, 2, .... Тогда процесс образования очереди

Q* = {ζ₀ ;N*_r , r = 0, 1, 2, ...}

называется двойственным процессом для Q = {ζ₀- N_r , r = 0, 1, 2, . . .}. Обратно, Q есть двойственный процесс для Q*. Длина очереди непосредственно перед моментом времени и = 0 в двойственном процессе Q* равна ζ₀. Для двойственного процесса используются те же обозначения, что и для Q, но с добавлением звездочки. Таким образом, для процесса Q* обозначения ξ_n*, ζ_n*, р*_n, а* _п , ß* _n имеют тот же смысл, что и ξ _n, ζ _n ,p _n , а_п, ß _n для процесса Q.

Процесс W*. Рассмотрим определенный выше процесс обра­зования очереди W= {η0); x(и), 0≤u<∞}. Предположим, что полное время обслуживания всех требований, поступающих в интервале времени [0, u], равно x* (и), где{х*(и), 0≤u<∞} — определенный в § 18 двойственный процесс для {x(u), 0≤u<∞}. Процесс образования очереди

W* = {η(0); х*(u), 0<u<∞}

называется двойственным процессом для W = {η (0); х (и), 0 ≤ и < ∞}. Обратно, W — двойственный процесс для W". В двойственном процессе W время занятости обслуживающего прибора непосредст­венно перед моментом и = 0 равно η (0). Для двойственного про­цесса W* используются те же обозначения, что и для W, но с добавлением звездочки. Таким образом, для W обозначения η(t), θ _r *, α*(t), ß*(Y) имеют тот же смысл, что и η(t), θ_r, a(t), ß(t) для процесса W.

Некоторые результаты, полученные для процессов Q и W, можно перенести на процессы Q* и W и обратно.

Обратные процессы

Рассмотрим процессы Q и W в следующей ситуации. В интер­вале времени (0, ∞) требования поступают в очередь в моменты Ʈ_r, r=\, 2, ...; Ʈ₀ = 0. Пусть в момент u = 0 требование не по­ ступает. Пусть x_r, r= 1,2 — длительность r-го обслуживания.

Для процесса Q начальное состояние равно ζ₀ (начальная длина очереди к моменту и = 0). Для процесса W начальное состоя­ние равно Ʈ|(0) (начальное время занятости прибора в момент u = 0).

Зададим теперь процессы Q' и W. Пусть в интервале времени (0, ∞) требования поступают на обслуживание в моменты т _r, r = = 1,2, ..., причем r'₀ = 0. Для процесса Q' в момент r'₀ = 0 тре­бование не поступает, а для процесса W в момент Ʈ≥ 0 посту­пает одно требование. Пусть x _r ', r = 1, 2, ...,—длительность г-го обслуживания. Для процесса Q начальное состояние равно £₀ (начальная длина очереди непосредственно перед моментом и = 0). Для процесса W начальное состояние равно η|(0) (начальное время занятости прибора непосредственно перед u = 0). Время обслу­живания требования, поступившего в момент и = 0, в η|(0) не включается.

Если

Ʈ́́΄ _r = Х₁ + Х₂+ ... +Хr для r= 1, 2, ...

и

x'_r = Ʈ _{r +Ʈr-1} Для r= 1, 2,…

то Q' называется обратным процессом для Q, a W΄ — обратным процессом для W. Иначе говоря, если для данного процесса по­менять местами времена поступления требований и времена об­служивания, оставляя начальное состояние неизменным, то по­лучится обратный процесс.

Для данного процесса образования очереди обратные про­цессы Q' и W΄ тесно связаны с двойственными процессами Q* и W*. Многие вероятности для обратных процессов совпадают с соответствующими вероятностями для двойственных процессов.