Процесс q*

Рассмотрим процесс Q* = {£₀; N*, г = 0, 1, 2, ...}, введенный в § 27. Предполагается, что Af* = v*+ ... +v* для г=1, 2, ..., где {v*}—двойственная последовательность для {v_r}, a {v,} —либо переставляемые случайные величины, принимающие неотрицатель­ные целые значения, либо, в частности, взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые значения. Положим N_r = Vi+ ... +v_r для г=1, 2, ....

Мы хотим найти распределения величин g*, £*, a*, ß*, p* для любого га. Эти случайные величины полностью определяются про­цессом Q*, или, что то же самое, процессом Q. В § 27 были получены распределения случайных величин £„, £„, а„, ß„, p„ для процесса Q. Сейчас мы сведем задачу нахождения распреде­лений величин а*, ß* и р* к нахождению распределения случайной величины £„.

Вероятность Р [ß* <&} = Р \а_п>п — k} для 0</г<л опреде­ляется следующей теоремой.

Теорема 8. Если {v_r} — переставляемые случайные величины, то

P{V_n<k + i\Z₀ = i) = P{N_k^n-\} +

+ 2S(l-//(*-/))P{tf/ = / + n-*-l, N_k-N, = I}, (47)

/=-u=o

eâe 0< /г О — i и 0<k<n. Если k = n — 1, го формула (47) при­нимает би<9

р {ß; < « -1 + /1 с₀=t] = 2 (1 - //(« - О) p Wn-i = /}. (48)

Доказательство. Если k ^.n — i, то в силу (4)

p{ß;<* + /|£₀ = /} =

= Р [N*r^r — n + k для некоторого г = 0, 1, ..., га—l}. (49) Следовательно, если k^n— 1, то в силу (2) § 9

p[ß;<* + /u₀ = /} =

= Р {N_r :> г — п — k — 1 для некоторого г = 1, 2, ..., /г} =

= \-P{N_r-r<n~k-\ для г = 1, 2 /г}, (50)

а правая часть задается формулой (1) § 6. Равенство (47) дока­зано. Если, в частности, в (50) k — n—l, то с учетом формулы (4) § 6 получаем (48). Здесь / = 0 или /=1. Отметим также интересное равенство

p{ß;<£ + /]S₀ = ;} = i-p{S_ft<rt-£-i|?₀ = o}, (si)

вытекающее из (14) и (50).

Теорема 9. Если {v_r}~ взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, E{v_r} = v>l и Var{v_r}=a²< oo, то независимо от распределения случайной величины £₀

Птр{^Ц^о} = Ф(*). (52)

n->°o ( y па²/у³ J

Доказательство. Имеем

ß;=s₀+^;-c (53)

где £* определяется по формуле (1), в которой N_r надо заменить на N*. В силу (2) § 9

P{N*n<k} = P{N_k^n} (54)

для n + k>0. Теперь, используя (29), легко доказать, что

С дг* _ _n/_v 1

limP /_^_<* =Ф(х). (55)

Так как lim NJn = у по вероятности, то

lim^f = - (56)

по вероятности. При у>1 отсюда следует, что

lim -г?- = 0 п-»°о га'²

по вероятности. Очевидно, что

£о

lim-^ = 0

п-»оо га'²

по вероятности. В соответствии с этим, если у>1> то при п->оо случайная величина ß* имеет то же асимптотическое распределе-

*

ние, что и Nn. Доказательство закончено.

Замечание. Если Р {\_г > х} = h (х)/х^а, где 1 < а < 2 и lim h (cx)/h (x) = 1 для любого положительного числа с и g_n таково,

что P{v_r>g„}~ 1/га, то

\ N.-nly \

limP " <x\=G_a{x), (57)

где G_a(x) —устойчивая функция распределения, определенная соотношением (31). С помощью формулы (54) можно доказать, что

I N*-n/\ 1

Hm Р ; _<1+a)/a <* = 1 - G_a(- *) (58)

и, если Y>1, то ß^ при га->оо имеет такое же асимптотическое распределение, что и N*_n.

Теорема 10. Если v_b v₂, ..., v„ — взаимно независимые слу­чайные величины, то

Р {р₀ < га + k | С₀ = £} = Р {N_n > « + k - 1} +

оля re^O w k~^\. Если k=\, то (59) принимает вид

n

P {pS<«I£o= 4 = ^l "St¹ -i")^p W» = Я- (⁶°)

Доказательство. В силу (6)

= Р{Л^*^г — й для некоторого г = 0, 1, ..., п + к — 1}. (61) Отсюда и из (2) § 9 получаем, что при k ^ 1

p{₉;<n + k\ç₀ = k} =

= Р{M,^r + k— I для некоторого г = 1, 2, . .., га} =

= 1 - P {N_r - г < k - 1 для г = 1, 2, .. ., га}, (62)

а правая часть находится по формуле (1) § 6 для k~^\ и по фор­муле (4) § 6 для k= 1. В силу (7)

P{pS<« + *|C₀ = *} = P{ß;₊*<nl£o = 0}, (63)

а правую часть можно, получить из формулы (47).

Отметим еще интересное равенство

P{pJ<n + *lC₀ = *} = l-P_{C„<*lC₀ = 0}, (64)

вытекающее из (1) и (62).

Теорема 11. Если {v_r} — взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, то для k^l

p{pS<°°ISo = *} = ¹-Q*-i. (⁶⁵)

где Q_k, k = О, 1, 2, ..., определяется в теореме 2. Доказательство. Согласно (62),

P{_P;<oo|£₀ = è} = l-P{ sup (N_r-r)<k-\), (66)

а правую часть можно получить из теорем 3 и 4 § 6. Если Я]^=1 и y s^ 1> ^то Qft ⁼ 0 Д^ля любого е. Если V < 1. ^то Qk > О ^ПР^И & ^ 0.

Пример. Предположим, что в интервале времени (0, с») тре­бования поступают в очередь в моменты х[, х'₂, ..., х'_г, ..., где т/ —т/__р r=l, 2, ..., являются взаимно независимыми и одина­ково распределенными положительными случайными величинами с функцией распределения F(x), a x'_Q = 0. Требования обслужи­ваются единственным прибором, начинающим работать в момент и = 0. Пусть времена обслуживания будут взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функ­цией распределения Н(х)= 1 —e~»^x (х^О), и пусть они не зависят от моментов прибытия требований. Обозначим через £₀ начальную длину очереди. Этот процесс Q' образования очереди — обратный для процесса Q, определенного следующим образом.

В интервале (0, с») требования поступают в очередь согласно закону Пуассона с интенсивностью ц. Требования обслуживает единственный прибор, начинающий работать в момент и = 0. Времена обслуживания являются взаимно независимыми и оди­наково распределенными случайными величинами с функцией распределения F(x). Они не зависят от моментов прибытия тре­бований. Начальная длина очереди равна £₀. Иначе говоря, Q'— обратный процесс для Q = {£₀; N_T, г = 0, 1, 2, ...}, где v_u v₂, . . ., v_r, ... —взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с распределением

°° P{vr = J}=je-»*-tef-dF(x) (/ = 0,1,2,...). (67)

о

Распределение для N_r = v₁ + ... + v„ r = 0, 1, 2, ..., равно

P{N_r = j}=je-»*-tef-dF_r{x) (/ = 0,1,2,...), (68)

о

где F_T(x) есть r-кратная свертка функции F(x); F₀(x) = 1 при х^О и F_o(x) = 0 при х<0.

Для обратного процесса Q' обозначения \'_п, t,'_n, a'_n, ß^, р^ имеют тот же смысл, что и \_п, £„, а_п, ß„, p_rt для процесса Q. Пусть Q*— двойственный процесс для Q. Мы будем обозначать через |^, С> %' ß«> Р« соответствующие случайные величины для Q*. Легко видеть, что а'_п = а_п, ß^ = ß* и р^ = р*. В этом параграфе определены распределения случайных величин а_п, ß* и р^. Для того чтобы можно было применить общие теоремы, введем следующие обо­значения:

Ф(*)= j

для Re(s)>0,

e~^sxdF{x) (69)

о

b=jxdF{x) (70)

о

сю

а²_й = j(x-b)²dF(x), (71)

если соответствующие интегралы сходятся.

Достаточно найти распределения величин \'_п и £,'_п. Согласно (3),

P{S;₊,<*lSo = '} = ^P{^₊*₊.<*ISo = ''b (72)

откуда следует, что можно ограничиться нахождением распреде­ления величины \'_п для п=\, 2, .... В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением \'₀ = %₀—\. Найдем распределение слу­чайной величины 1'_п.

Теорема 12.

p&<*IêS = /} =

п

= P{^>n + i-A}-SjP{^ = /-*}P{iV„._/>n + i-/)_I (73)

если k — 1, 2, ... и / = О, 1, .... ß частности,

п

P{r_n<k\l'₀ = 0} = ^P{N,^j-k} (74)

для &=1, 2, Распределение случайной величины N_r, r = 0, 1,2, ...,

определяется по формуле (68).

Доказательство. Легко видеть, что

MC+1-^f (75)

при и = 1, 2, . .., откуда Ц = max {(« - г) - (N_n - N_T) для г = 0, 1, ..., п и E₀' + «-/V„}. (76)

Если в (76) заменить v_b v₂, ..., v„ на v„, v„_₁₍ ..., V! соответ­ственно, то получится новая случайная величина

1'_п = max {г - N_r для г = О, 1, . . ., л и |₀' + n-tf„] (77)

с таким же распределением, что и (76). Тогда

P{t'_n<k\t'₀ = i} =

= P{r-N_r<k для г = 0, 1 o«-Jlf„<H, (78)

а правую часть можно получить из (3) § 8. Доказательство закон­чено, ибо в случае i — 0 (78) получается из (1) § 8.

Теорема 13. Если k~^\, то независимо от распределения случайной величины |„

limP{|;<Ä} = l-o^ft, (79)

га->оо

где б—наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения

cp(n(l-ô)) = ô. (80)

Если \ib ^ 1, то ô = 1, а если \ib> 1, то ô < 1.

Д о к а з а те л ь ст в о. Из формулы (78) вытекает, что незави­симо от распределения случайной величины %'₀

UmP{l'_n<k} = P{ sup (r-N_r)<k), (81)

а правую часть находим из теоремы 3 § 8.