Нестационарные системы управления.
Нестационарными линейными системами (системами с переменными параметрами) называются такие системы, все звенья которых описываются только обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, причем все или часть коэффициентов в этих уравнениях меняются со временем.
Поскольку в реальных системах в процессе эксплуатации параметры меняются, то все реальные системы являются в той или иной мере нестационарными. Примерами нестационарных систем могут служить: ракета, масса которой в течение полета изменяется в связи с выгоранием топлива; система управления полетом снаряда, параметры которой могут зависеть от дальности снаряда до цели и изменяться со временем в процессе движения снаряда.
Переменность параметров имеет место в самонастраивающихся системах, где осуществляется автоматическая настройка параметров на оптимальные значения с помощью специальных устройств самонастройки, получающих и перерабатывающих информацию о состоянии системы и внешних воздействиях.
При медленном изменении параметры можно считать “замороженными” и воспользоваться математическим аппаратом, разработанным для систем с постоянными параметрами.
Для оценки степени нестационарности можно применять различные критерии: соотношение среднего периода переменности параметров и времени быстродействия системы; скорость изменения параметров, собственную величину или степень нестационарности.
Так, например, если через T обозначить средний период изменения параметров за полное время наблюдения, а через tn - время быстродействия автоматической системы, то при условии T >>tn будем иметь строго систему с постоянными параметрами; при T =tn – квазистационарную систему, а при T < < tn – нестационарную систему.
Поведение системы с переменными параметрами описывается линейным дифференциальным уравнением с коэффициентами ak и bk, зависящими от времени.
Например, в случае фильтра низких частот (колебательного звена)
.
Рассмотрим САУ, объект управления которой имеет переменные параметры (рис.66).
Рис.66. Нестационарная САУ
Уравнения измерителя рассогласования, ОУ и УУ соответственно имеют вид:
,
,
.
Путем алгебраических преобразований получаем уравнение разомкнутой системы:
Из уравнения можно найти передаточные функции элементов системы
Несмотря на то, что элементы САУ включаем последовательно, их передаточные функции нельзя перемножать для получения передаточной функции системы, как это имеет место для систем с постоянными параметрами. В нестационарных системах нельзя оценивать качество переходного режима по переходной характеристике, т.к. ее вид будет зависеть от момента подачи на вход системы единичной функции. Так, например (рис. 67), для момента t1 переходная характеристика может иметь монотонный характер, а для t2 - колебательный.
Рис. 67. Переходные характеристики нестационарной системы
Частотные характеристики нестационарных систем также зависят от времени. Например, если постоянная времени апериодического звена T в процессе работы системы увеличивается, то система становится более узкополосной и т.д.
16 Понятие устойчивости. Виды устойчивости. Устойчивость по Ляпунову.
Под действием возмущений управ-я вел-на отклоняется от заданного состояния. В ответ на это УУ (регулятор) формирует управл-е воздействие на объект стремясь вернуть регулир-ую величину к заданному значению. В результате совместного действия управл-его и возм-его воздействий в системе происходит переходный процесс. Возможны 4 вида:
1) с течением времени управл-я велич. возвращается с некоторой точностью в заданное равновесное состояние. Такой переходный процесс назыв. сходящимся, а система устойчивой.
2) Система не может восстановить равновесное состояние. Управляемая вел-на все больше удал-ся от заданного значения. Такой перех. процесс назыв. расходящимся, а система не устойчивой.
3) Пограничный между 1и2. В системе возникают незатухающие колебания регулируемой величины. Такой перех. процесс назыв. незатух-им колебат., а система считается находящимся на границе устойчивости.
4) В системе не возникает переходного процесса. Значение управл. переменной остается на том же уровне при котором оно достигло под действ. возмущения. Это будет нейтрально устойчивая Вывод: устойчивость- это способность САУ возвращаться с некоторой точностью в заданное равновесное состояние после того как она была выведена из него в результате какого-либо воздействия. Формулировка понятие точности по А.А. Ляпунову: невозмущенное движение y(t) (установив. режим) будет устойчивым если для любого наперед заданного положительного числа δ как бы оно мало не было можно выбрать другое положит. число λ(δ) такое что для любого возмущения удовлет-го. условию: Σni=1Δ2fio< λ(δ), есть возмущенное движение, удовлет-ее условию Σni=1Δ2yi<δ начиная со времени t>t0.
Эта формулировка отражает то что при нарушении равновесия абсолютная величина отклонения управляемой переменной должна по истечению достаточно длительного промежутка времени стать меньше некоторого заранее заданного числа δ.
17 Устойчивость по первому приближению. Условие устойчивости линейных систем управления.
Устойчивость по первому приближению:
Условие
устойчивости линейных систем управления.
18 Критерии устойчивости Рауса-Гурвица. Льенара-Шипара.
Наиболее
простым и удобным для практического
применения является критерий
Гурвица, который
позволяет определить, где на комплексной
плоскости расположены корни
характеристического уравнения, не
решая само уравнение. Определение
критерия: для
того, чтобы САР была устойчива,необходимо
и достаточно, чтобы главный определитель
Гурвица и его диагональные миноры,
составленные из коэффициентов
характеристического уравнения, были
положительными,
т. е.
Положим,
имеется характеристическое уравнение
САР (характеристическое уравнение –
знаменатель передаточной функции
Φ(p)):
Из
коэффициентов d0,
d1,
…dn-1
составляется
определитель Гурвица порядка n
по
следующему правилу: по главной диагонали
определителя слева направо сверху вниз
выписываются все коэффициенты
характеристического уравнения от d0
до
dn-1
в
порядке возрастания индекса. Столбцы
вверх от главной диагонали дополняются
коэффициентам и характеристического
уравнения с последовательно возрастающими
индексами, а столбцы вниз – с
последовательно убывающими индексами.
На место коэффициентов с индексами
больше n
(где
n
–
порядок характеристического уравнения)
и меньше нуля проставляются нули:
Далее
в главном определителе Гурвица
вычеркивается строка снизу и столбец
справа и получается определитель
Гурвица низшего порядка:
В итоге по данному критерию проверяются n определителей, которые должны быть больше нуля, в этом случае система автоматического регулирования будет устойчива. Расчет большого количества определителей в ряде случаев затруднителен.
При выполнении необходимого условия для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительны или все определители Гурвица с четными индексами, или все определители Гурвица с нечетными индексами.
Следовательно, для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
или
Таким образом, для исследования устойчивости нет необходимости вычислять все определители Гурвица.