6 Ответ.

Виды математических задач, основанные на понятии стратегии обучения.

А.А. Столяр выделяет 3 вида задач.

1. Задача стандартная, способ решения которой знаком учащимся. Стратегия состоит в том, что мы обучаем распознаванию соответствующего вида задач и применению уже известного способа.

2. задача стандартная, но способ решения еще не знаком учащимся. Стратегия ориентируется на открытие учащимися способа решения таких задач: используются общие вопросы на этапе поиска решения, помогаем обнаружить учащимся способ, а на итогах просим составить алгоритм или схему решения.

3. Задача нестандартная. Стратегия ориентируется на обучение учащимися поиска способа решения ( Дж. Пойа «Как научиться решать задачу», Л. М. Фридман. Методы решения нестандартных задач).

 

Виды задач, основанные на понятии требования задач.

1.         Задачи на нахождение искомого:

- задачи на вычисление,

- решение уравнений и неравенств,

- задачи, где требуется определить форму фигуры.

2. Задачи на доказательство или объяснение ( задачи со словами «доказать», «проверить», «ответить на вопрос почему?»).

3. Задачи на преобразование или построение.

Виды задач, основанные на понятии участвующие величины.

Задачи на движение, работу, на объем, стоимость, нахождение площади, задачи на проценты и т. д.

 

Виды задач, основанные на понятии полнота данных.

- Задачи с полным набором данных,

- задачи с недостающими данными,

- задачи с избыточными данными.

Отдельно выделяются задачи с противоречивыми данными. Например, решите задачу: из пункта А в пункт С. Из пункта В в С выезжают 2 велосипедиста, скорость первого 12 км/ч, скорость второго 15 км/ч. Когда второй прибыл в С первому оставалось ехать 12 км. Первый находился в точке Д отрезка АВ, что треугольник ВДС был равносторонним. Найдите расстояние между пунктом А и В, если треугольник АВС – прямоугольный (угол В=90).

 

 

Основания для подбора задач системы школьного курса математики.

Выделяют 2 основания:

1.         Дидактическая цель, в соответствии с дидактической целью конструируется соответствующая система упражнений или задач.

Выделяют следующие цели.

- Подготовка к изучению теоретических вопросов математики (для актуализации знаний или для мотивации изучения).

- Усвоение новых знаний.

- Формирование умений и навыков (закрепление изученного, совершенствование опыта).

- Иллюстрация приложений.

- Повторение изученного.

- Контроль.

2. Способ деятельности. В соответствии с определенным способом деятельности выстраивается система упражнений. Способ деятельности может быть математическим (например, применение метода координат) и учебным (например, планирование своей деятельности).

7 Ответ

Общая и основная задачи линейного программирования

В предыдущем параграфе были рассмотрены примеры задач линейного программирования. Во всех этих задачах требовалось найти максимум или минимум линейной функции при условии, что ее переменные принимали неотрицательные значения и удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или линейных неравенств либо системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения. Каждая из этих задач является частным случаем общей задачи линейного программирования.

Определение 1.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

(8)

при условиях

(9)

(10)

(11)

где  - заданные постоянные величины и  .

Определение 2.

Функция (8) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (8) – (11), а условия (9) – (11) – ограничениями данной задачи.

Определение 3.

Стандартной (или симметричной} задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (8) при выполнении условий (9) и (11), где k = m и l = n.

Определение 4.

Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (8) при выполнении условий (10) и (11), где k = 0 и l = п.

Определение 5.

Совокупность чисел  , удовлетворяющих ограничениям задачи (9) – (11), называется допустимым решением (или планом).

Определение 6.

План  , при котором целевая функция задачи (8) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Значение целевой функции (8) при плане Х будем обозначать через  . Следовательно, X*– оптимальный план задачи, если для любого Х выполняется неравенство  [соответственно  ].

Указанные выше три формы задачи линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из трех задач.

Чтобы перейти от одной формы записи задачи линейного программирования к другой, нужно уметь, во-первых, сводить задачу минимизации функции к задаче максимизации; во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам и наоборот; в-третьих, заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

В том случае, когда требуется найти минимум функции  , можно перейти к нахождению максимума функции  , поскольку  .

Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид “ ”, можно преобразовать в ограничение-равенство добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида “ ” – в ограничение-равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной. Таким образом, ограничение-неравенство

преобразуется в ограничение-равенство

(12)

а ограничение-неравенство

– в ограничение-равенство

(13)

В то же время каждое уравнение системы ограничений

можно записать в виде неравенств:

(14)

Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.

Отметим, наконец, что если переменная  , не подчинена условию неотрицательности, то ее следует заменить двумя неотрицательными переменными  и  , приняв  .

Пример 4.

Записать в форме основной задачи линейного программирования следующую задачу: найти максимум функции  при условиях

Решение. В данной задаче требуется найти максимум функции, а система ограничений содержит четыре неравенства. Следовательно, чтобы записать ее в форме основной задачи, нужно перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Так как число неравенств, входящих в систему ограничений задачи, равно четырем, то этот переход может быть осуществлен введением четырех дополнительных неотрицательных переменных. При этом к левым частям каждого из неравенств вида“ “ соответствующая дополнительная переменная прибавляется, а из левых частей каждого из неравенств вида “  ” вычитается. В результате ограничения принимают вид уравнений:

Следовательно, данная задача может быть записана в форме основной задачи таким образом: максимизировать функцию  при условиях