- •А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Задания и упражнения для практических занятий
- •Найти области определения функции
- •Найти множество значений функции
- •Понятие четности, нечетности и периодичности функции
- •Найти пределы функций, используя замечательные пределы
- •Исследовать функции на непрерывность
- •Найти односторонние пределы
- •Практическое занятие 4. Исследование функций одной переменной.
- •Исследовать функцию и построить график:
- •Построить графики функций:
- •Формула Тейлора
- •Используя таблицу неопределенных интегралов, найти
- •Интегрирование методом подстановки (замены переменной) Вычислить методом замены переменной интегралы
- •Интегрирование по частям Вычислить методом интегрирования по частям интегралы
- •Найти значение интеграла , если
- •Интегрирование подстановкой (замена переменной в определенном интеграле) Вычислить интегралы методом подстановки
- •Решить уравнение
- •Интегрирование по частям Используя интегрирование по частям, вычислить интегралы
- •Несобственные интегралы Найти значения несобственных интегралов или установить их расходимость
- •Функциональные ряды
- •7Знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями (оду).
А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
Задания и упражнения для практических занятий
(для специальностей
«Государственное управление и экономика» и «Управление информационными ресурсами»)
Минск 2004
1 Теория пределов 3
Элементы дифференциального исчисления 9
2 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 16
3 Экстремумы функций нескольких переменных. 20
4 Элементы интегрального исчисления (неопределенные интегралы) 21
5 Определенные и кратные интегралы 25
6 Ряды 31
7 Знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). 37
1Теория пределов
Практическое занятие 1. Вычисление пределов последовательностей. Понятие функции.
Вопросы для повторения
Определение предела последовательности.
Первый и второй замечательные пределы.
Понятие функции, области определения и множества значений функции.
Понятие четности, нечетности и периодичности функции.
Предел последовательности.
Последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .
Число называют пределом последовательности . При этом записывают или .
Найти первые четыре члена последовательности (an), если
|
|
|
|
Ответы:
|
|
|
|
Найти общий член последовательности
|
|
|
|
Ответы:
|
|
|
|
Пример. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность имеет предел .
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы мы ни взяли, для него найдется число , такое, что для всех имеет место неравенство.
Возьмем любое . Так как , то для отыскания достаточно решить неравенство . Отсюда и, следовательно, за можно принять . Мы тем самым доказали, что .
Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность имеет предел .
; .
;
;
Пример. Найти .
Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида - . Преобразуем формулу общего члена:
.
Найти пределы последовательности при
|
|
|
|
|
|
Ответы:
|
|
|
|
|
|
Первый и второй замечательные пределы.
, где
Найти пределы последовательности при используя замечательные пределы
|
|
|
|
|
Ответы:
|
|
|
|
|
Понятие функции, области определения и множества значений функции.
Пусть ‑ некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) , по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число обозначаемое . Тогда говорят, что на множестве задана функция и записывают: или
Чаще записывают и говорят проще: задана функция ,
Множество называют областью определения функции . Множество называют множеством значений функции . При этом называют независимой переменной или аргументом функции, – зависимой переменной или значением функции, а – характеристикой функции.