10. Линейная зависимость (независимость) элементов. Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Линейная зависимость – соотношение вида

между элементами векторного пространства над полем K, где среди коэффициентов хотя бы один отличен от нуля. Система векторов произвольного линейного пространства линейно независима если из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов . Система векторов произвольного линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда  хотя бы один вектор системы векторов    линейно выражается через остальные векторы системы.Это утверждение (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Размерность линейного пространства. Базис линейного пространства. Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы; обозначаем dim L=k. Совокупность линейно независимых векторов линейного пространства L называется базисом этого пространства, если любой вектор из L линейно выражается через векторы , т.е. для любого x из L существуют такие числа что .Справедливы следующие утверждения: -любой вектор линейного пространства линейно выражается через векторы базиса единственным способом; -если размерность линейного пространства равна n, то его базис сосотоит из n векторов; -любая упорядоченная линейно независимая система n векторов n-мерного линейного пространства образует базис этого пространства.

17. Приложения методов матричного анализа в моделировании социально-экономичесих процессов. При прогнозировании развития сложных социально-экономических явлений большое значение имеет проблема определения взаимного влияния отдельных компонент исследуемой системы друг на друга и на цели объекта прогноза. Решение этой задачи может быть достигнуто на основе применения матричного метода. Этот метод позволяет сравнить различные направления прогноза по степени важности для достижения совокупности целей или отдельной цели. Взаимное влияние двух комплексов факторов выражается в виде матрицы влияния , элементами которой являются оценки (в частности, экспертные оценки), отражающие влияние -го фактора комплекса факторов на -й фактор комплекса . Если имеются две согласованные матрицы и , то их произведение, представляющее собой матрицу , будет выражать влияние комплекса факторов на комплекс факторов посредством комплекса : .Две матрицы-произведения одинакового размера, одна - выражающая влияние комплекса факторов на комплекс факторов через посредство комплекса и другая - , выражающая влияние комплекса факторов на комплекс факторов через посредство комплекса , могут быть просуммированы: .Если цели объекта прогноза имеют различные степени относительной важности или первоочередности, то каждая цель может быть охарактеризована некоторыми величинами, которые в совокупности будут представлять вектор целей : . Если далее определена некоторая матрица , выражающая вклад различных факторов из комплекса в различные элементы вектора , то произведение на даст матрицу , элементы которой выражают важность -го фактора (из комплекса ) для достижения всего комплекса целей с учетом их важности.. Влияние различных элементов комплекса факторов на достижение -й цели из совокупности целей определяется разбиением матрицы на подматрицы размера путем вычеркивания всех столбцов матрицы, кроме рассматриваемого.В общем случае (для всей совокупности целей и для -й цели) компоненты получаемой матрицы-столбца показывают влияние каждого фактора из рассматриваемого комплекса на достижение -й цели или всей совокупности целей, и используются для характеристики относительной важности различных факторов данного комплекса:

Если каждый из факторов является некоторым направлением прогнозируемого процесса, определенным образом влияющим на достижение целей объекта прогноза, то очевидно, что полученные таким путем оценки относительной важности направлений показывают, какому из них необходимо выделить большее количество ресурсов или обеспечить другие формы предпочтения. Таким образом, если имеется некоторый объем ресурсов , выделенный на развитие всего комплекса факторов , то распределение их между отдельными направлениями может производиться пропорционально относительной важности этих направлений:

Матричный метод является нормативным методом прогнозирования, в котором задаются конечные цели, а в процессе прогнозирования определяются пути и средства их достижения. Прогностическая функция матричного метода заключается в оценке влияния различных вариантов происходящих сдвигов на достижение конечных целей объекта прогноза. Прогнозная информация формируется за счет того, что в комплексы факторов входят альтернативные решения тех или иных проблем, в том числе и такие, которые находятся на различных стадиях разработок.

20. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A: Так как A ^{− 1}A = E, получаем X = A ^{− 1}B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: .Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

23. Декартовы координаты. Преобразование декартовых координат сдвигом и поворотом осей. ДЕКАРТОВЫ координаты (декартова система координат) - система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям - прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Рене Декарта.

Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)

24. Прямая на плоскости и в пространстве. Взаимное расположение прямых. Прямая и плоскость в пространстве могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь ровно одну общую точку;

в) иметь хотя бы две общие точки.

В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || .

В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.

В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .

Теорема. Если прямая b параллельна хотя бы одной прямой а, принадлежащей плоскости , то прямая параллельна плоскости .

Предположим, что прямая m пересекает плоскость в точке Q.Если m перпендикулярна каждой прямой плоскости , проходящей через точку Q, то прямая m называется перпендикулярной к плоскости .