Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Билет№41

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера. Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция   определена на некоторой области  . Решение разыскивается на интервале  . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах  , которое обозначим через   определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1 Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти уm+1 нужна

информация о предыдущей точке xmym

2 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp где степень р

различна для различных методов и называется порядковым номером или

порядком метода

3 Они не требуют вычисления производных от f (xy) а требуют вычисления

самой функции

Билет№42

http://www.uchites.ru/files/nummethod_book_chapter4-1.pdf

.Методы Рунге-Кутта.

Методы Рунге-Кутта - это группа итерационных методов решения задачи Коши (4), характеризуемая следующими условиями: 1)Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точку используется лишь информация о предыдущей точке . Этому условию соответствует такая общая запись итерационной процедуры , (17) где выражается через значения функции в точке или близким к ней (сдвинутым на долю шага). 2. Процедура (16) согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где p -порядок метода. 3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка. Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутта, имеющий наименьший первый порядок точности.

Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием: методы Рунге - Кутта. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и, соответственно, обеспечивают большую или меньшую точность.

Методы Рунге - Кутта обладают следующими отличительными свойствами:

• эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение функции в точке y_i+1 нужна информация только о предыдущей точке (y_i,x_i);

• они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^k, где степень k определяет порядок метода;

• эти методы не требуют вычисления производных от f (x,y), а требуют вычисления самой функции.