44. Тождественно истинные предикаты, примеры. Теорема о тождественно истинных предикатах.

Определение 1 n-местным предикатом, определённым на множествах М₁, М₂,…,М_n, называется предложение, содержащее n переменных x₁,x₂,…,x_n превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М₁, М₂,…,М_n соответственно.

Обозначать n-местные предикаты будем А (x₁,x₂,…,x_n), причём переменные x₁,x₂,…,x_n называются предметными.

Всякий n-местный предикат А (x₁,x₂,…,x_n), определённый на множествах М₁, М₂,…,М_n есть функция от n аргументов, заданная на указанных множествах и принимающая значение 0(ложно) или 1(истинно).

Будем говорить, что n-местный предикат А (x₁,x₂,…,x_n) задан на множестве М, если x₁,x₂,…,x_n принимают значения из М.

Примерами предикатов являются любые уравнения и неравенства из школьного курса математики.

Например, x+y>2, где x,y из R есть двухместный предикат заданный на множестве всех действительных чисел R.

Определение 2 Предикат А (x₁,x₂,…,x_n), заданный на множествах

М₁, М₂,…,М_n называется: тождественно истинным, если при любой подстановке вместо переменных x₁,x₂,…,x_n любых конкретных значений из множеств М₁, М₂,…,М_n он превращается в истинное высказывание; Обозначают: тождественно истинный – А (x₁,x₂,…,x_n) ≡ 1; Двухместный предикат x²+y² ≥ 0, заданный на множестве R является тождественно истинным. Определение 3 Множеством истинности предиката А (x₁,x₂,…,x_n) заданного на множествах М₁, М₂,…,М_n называется совокупность всех упорядоченных наборов (a₁,a₂,…,a_n), где a_i  М_i, i=1,2,…,n при которых А(a₁,a₂,…,a_n) =1.

Множество истинности предиката А (x₁,x₂,…,x_n) мы будем обозначать N_A.

Пусть A(x)=(x²+3x - 4=0) – одноместный предикат, заданный на множестве R. Ясно, что N_A={1,-4}. Однако, если данный предикат задан на множестве натуральных чисел, то его множество истинности N′_A={1}.

Пусть x²+y²=4 – двухместный предикат, заданный на множестве действительных чисел R. Тогда множеством истинности его являются множества всех таких пар действительных чисел, которые являются координатами точек плоскости, лежащих на окружности с центром в начале координат и радиусом 2.

Непосредственно из определения 2 следует справедливость следующего утверждения.

Пусть А (x₁,x₂,…,x_n) n-местный предикат, заданный на множествах

М₁, М₂,…,М_n тогда А (x₁,x₂,…,x_n) является тождественно истинным тогда и только тогда, когда N_A= М₁× М₂×…×М_n;

45. Тождественно ложные предикаты и теорема о тождественно ложных предикатах.

1 n-местным предикатом, определённым на множествах М₁, М₂,…,М_n, называется предложение, содержащее n переменных x₁,x₂,…,x_n превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М₁, М₂,…,М_n соответственно.

Обозначать n-местные предикаты будем А (x₁,x₂,…,x_n), причём переменные x₁,x₂,…,x_n называются предметными.

Всякий n-местный предикат А (x₁,x₂,…,x_n), определённый на множествах М₁, М₂,…,М_n есть функция от n аргументов, заданная на указанных множествах и принимающая значение 0(ложно) или 1(истинно).

Будем говорить, что n-местный предикат А (x₁,x₂,…,x_n) задан на множестве М, если x₁,x₂,…,x_n принимают значения из М.

Примерами предикатов являются любые уравнения и неравенства из школьного курса математики.

Например, x+y>2, где x,y из R есть двухместный предикат заданный на множестве всех действительных чисел R.

Определение 2 Предикат А (x₁,x₂,…,x_n), заданный на множествах

М₁, М₂,…,М_n называется: тождественно ложным, если при любой подстановке вместо переменных x₁,x₂,…,x_n любых конкретных значений из множеств М₁, М₂,…,М_n соответственно он превращается в ложное высказывание;

тождественно ложный – А (x₁,x₂,…,x_n) ≡ 0. Одноместный предикат sinx > 1, заданный на множестве R является тождественно ложным. Пусть А (x₁,x₂,…,x_n) n-местный предикат, заданный на множествах

М₁, М₂,…,М_n тогда А (x₁,x₂,…,x_n) является тождественно ложным тогда и только тогда, когда N_A=Ø;