1.Первообра́зная. Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x).Основное свойство первообразных. Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ).

Неопределённый интегра́л для функции f(x)— это совокупность всех первообразных данной функции.

Свойства неопределенного интеграла.

1.Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

2.Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то .Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

3.Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка: Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

4.Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то :Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

2.Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 1:Каждый многочлен с вещественным коэфицентом может быть единственным образом представлен произведением коэфицентов при старшей степени двучленов вида (х-а), (x-a)^k и квадратных трехчленов вида (x²+px+q), (x² +px+q)^r здесь ф-просто многократный корень многочлена, либо корень кратность k, квадратный трех член отвечает паре комплексных корней трехчлена однократной или кратности r.

Qm(x)/Pn(x)-рациональная дробь, если m<n-правильная дробь, m>n-неправильная. Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена суммой многочлена и правильной рациональной дроби.

Теорема 2:Всякая правильная рац. Дробь м\б единственным образом представлена суммой простых дробей.

Метод неопределенных коэф.-метод представления правильной рац. дроби суммой элементарных рац. дробей.

Теорема 3:Два многочлена равны тождественно тогда и только тогда, когда равны их кэфиценты при одинаковых степенях.

3.Определенный интеграл. Определение. Предел от суммы   при   , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается:

Oпределенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Теорема существования:

Для любой непрерывной на [a;b] функции существует определенный интеграл

Свойства:

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

3. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

4. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

4. Замена переменной в неопределенном интеграле - Если ϕ(t)— непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая  x=ϕ(t) , получим формулу интегрирования заменой переменной     . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле - Пусть  u(x),v(x) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям  . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”      подынтегрального выражения в левой части.

Замена переменной в определенном интеграле. Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ'(x) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ(x) ≤ q. В таком случае

     

     Формула замены переменной в определенном интеграле. Она отличается от замены неопределенного тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.

Интегрирование по частям определенного интеграла.Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а,b]. Тогда

 

где 

5. Производная интеграла с переменным верхним пределом. Если в определенном интеграле   изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x:  .

Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом: 

Доказательство. По определению производной

 где    [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=   [по теореме о среднем]=  где   

Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при    . Таким образом, 

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом   является первообразной для функции  .

6.Формула Ньютона-Лейбинца- даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Пусть функция  f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a,b].  Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a,b],  то

7. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Рассмотрим функцию f(x) определенную и непрерывную на промежутке   . Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная функция f(x) интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, A]. Тогда интегралом от этой функции по бесконечному промежутку   назовем   . Обозначать этот интеграл будем как   . Таким образом

 =   

Если этот предел существует, будем говорить, что интеграл   сходится, в противном случае - расходится.

Геометрически этот интеграл представляет собой площадь бесконечной фигуры.