- •1.Определители 2ого порядка.
- •2. Невырожденные матрицы
- •3. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура сла́у) в линейной алгебре — это система уравнений вида
- •5. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура сла́у) в линейной алгебре — это система уравнений вида
- •6. Вектор – это направленный отрезок прямой.
- •8.. Размерность и базис векторного пространства
- •9. Пусть в пространстве имеется два базиса: и .
- •10. Евклидово пространство
- •16. Угол между двумя прямыми
5. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура сла́у) в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
(1) |
Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.
Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными[1]. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[2].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения втождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). |
Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: x1 + x2 + … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.
В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.
Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений - базис векторного пространства действительных (комплексных) решений этой системы. (Система может состоять и из одного уравнения.) Более подробно это определение формулируется следующим образом. Множество действительных (комплексных) решений {x1(t),...,xn(t)}(заданных на нек-ром множестве Е)линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы уравнений (на множестве Е) при выполнении совокупности следующих двух условий: 1) если действительные (комплексные) числа С 1,..., С n таковы, что функция C1x1(t)+...+Cnxn(t) тождественно равна нулю на Е, то все числа С 1,..., С n равны нулю; 2) для всякого действительного (комплексного) решения х(t)рассматриваемой системы уравнений найдутся действительные (соответственно комплексные) числа С 1,..., С n (не зависящие от t)такие, что x(t) = C1x1(t)+...+Cnxn(t) при всех Если -произвольная невырожденная -матрица, а {x1(t), ..., х п(t)}есть Ф. с. р., то также есть Ф. с. р.; всякая Ф. <с. <р. получается таким преобразованием из данной Ф. с. р. Если система дифференциальных уравнений имеет вид
где (или а (соответственно причем отображение суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этой системы изоморфно (соответственно Следовательно, система (1) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из пре шений. Напр., для системы уравнений произвольная Ф. с. р. имеет вид
где -произвольные линейно независимые векторы-столбцы. Всякая Ф. с. р. системы (1) имеет вид
где - Коши оператор системы (1), - произвольное фиксированное число из интервала а x1, . . ., х п - произвольный фиксированный базис пространства (соответственно Если система дифференциальных уравнений состоит из одного уравнения
где функции суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в (где - конечный или бесконечный интервал в то векторное пространство решений этого уравнения изоморфно (соответственно Следовательно, уравнение (2) имеет бесконечно много Ф. с. р., и каждая из них состоит из kрешений. Напр., уравнение имеет Ф. с. р. общее действительное решение этого уравнения дается формулой где C1, С2 - произвольные действительные постоянные. Если система дифференциальных уравнений имеет вид
где (или ) и при всяком i = l, ..., k-1 отображение
суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в (где -конечный или бесконечный интервал в то пространство решений этой системы уравнений изоморфно (соответственно Ф. с. р. системы (3) существуют, и каждая из них состоит из kn решений. Для линейных однородных систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старших производных, даже если коэффициенты системы постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. размерность векторного пространства решений), вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведенных случаях. (В [1], з 11 рассмотрено такое вычисление для линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, не разрешенных относительно старших производных.)