16. Угол между двумя прямыми

Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. И рассмотрим прямую l лежащую на этой плоскости.

Пор. Углом наклона прямой l к оси абсцисс называется угол, на который надо повернуть ось Х чтобы она стала параллельной данной прямой. Этот угол называется положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки.

 

Опр. Углом наклона между прямыми l1 и l2 называется угол между направляющими векторами этих прямых.

Найдем выражение угла через cosφ.

Даны вектора m1 (-B1; A1) и m2 (-B2жA2)

Тогда угол можно найти из ab=/a/*/b/*cosφ

 

Пусть прямые заданы с помощью угловых коэф.

L1: y=kx+b1

L2: y=k2x+b2

tga=tg(a2-a1)=(k2-k1)/(1+k2*k1)

 

Угол между прямыми в пространстве.

 

            Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1:   

l2:   

 

            Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.

 

 

Условия параллельности и перпендикулярности

прямых в пространстве.

 

            Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

            Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

 

 

Угол между прямой и плоскостью.

 

            Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением  , а прямая -  . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j, где a - угол между векторами   и  . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме: 

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (10)

17.

18. Нормальное уравнение прямой

            Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

 

            Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

 

;          cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

            Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

 

            Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

 

Уравнение прямой имеет вид: ,           a = b = 1;     ab/2 = 8;          a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого:    или х + у – 4 = 0.

 

            Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

 

Уравнение прямой имеет вид: , где х1 =  у1 = 0;  x2 = -2; y2 = -3.