4.6. Распределение хи-квадрат

Если положить = 0,5 а =n/2, в функции плотности вероятности гамма-распределения, то получим однопараметрическое распределение ² (ХИ-квадрат) с n степенями свободы

, x > 0 .

Это распределение применяется для поверки гипотез о согласии эмпирических и гипотетических функций распределения случайных величин. Типичная интерпретация ХИ-квадрат распределения такова. Если имеется n независимых нормально распределенных случайных величин z_i, представленных в нормированной форме, то сумма квадратов этих величин ² = z₁² + z₂² + ... + z_n² имеет ХИ-квадрат распределение с n степенями свободы.

При n  2 функция плотности монотонно убывает, а при n > 2 имеет единственный максимум в точке ² = n - 2 , рис. 4.6а.

Рис. 4. 6. Типичный вид графиков функции плотности вероятности

Хи-квадрат распределения

Математическое ожидание и дисперсия определяются по простым формулам

E(²)=n V(²)=2n

В приложениях часто нужно знать величину  - вероятность того, что ² принимает значение большее некоторого ²₀. Эта вероятность определяется площадью, ограниченной кривой f(²) справа от ординаты ²₀ , рис.4.6б. Кстати величина на оси абсцисс плотности распределения, соответствующая вероятности, определяемой площадью, ограниченной слева, называется квантилью. Квантиль – одна из характеристик распределения вероятностей. Квантиль порядка р (0<р<1), или р-квантиль для некоторой случайной величины называют такое число x_p, что вероятность того, что произвольно выбранное значение меньше x_p, равна р. Квантили x_0,25, x_0,5, x_0,75 называют квартилями, квантили x_0,1, x_0,2,…, x_0,9 – децилями, x_0,01, x_0,02,…, x_0,99 – процентилями.

Понятия квантиль и функция распределения случайной величины тесно связаны между собой. При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения случайной величины принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение F_x (x)=p. Решения такого уравнения в теории вероятностей и называются квантилями. Квантилью x_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины x, имеющей функцию распределения F_x(x), называют решение x_p уравнения F_x(x)=p, p в промежутке (0, 1). Для некоторых p уравнение F_x(x)=p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые квантили не существуют. Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75.

В.А.Симонов Прочность и надежность локомотивов. Конспект лекций. Кафедра «Локомотивы», БГТУ