37

Основы статистической обработки результатов эксперимента

8. Основы статистической обработки результатов эксперимента

Статистическая обработка экспериментальных данных может выполняться различными способами. Наибольшее влияния на способ построения оказывает размер выборки случайных чисел. Одни из способов применимы для так называемых малых выборок, другие для больших. В литературе нет однозначных определений малой выборки. Интуитивно ясно, что выборки в пять , десять, двадцать элементов следует отнести к малым, но четкой верхней границы видимо не существует. Выборку можно считать малой, если при ее обработке методами основанными на группировке данных нельзя получить требуемую точность и достоверность [1]. Понятия точность и достоверность в данном случае подразумевают доверительный интервал и доверительную вероятность, о которых речь пойдет ниже в данном разделе. С одним из способов группировки мы познакомимся при построении гистограмм для больших выборок. В любом случае обработка малых выборок требует каждый раз индивидуального подхода и выводы полученные на ее основе должны восприниматься с осторожностью, так как одно неверное наблюдение в эксперименте может сильно повлиять на результат. На практике чаще всего выборки из менее чем 40 компонент считают малыми.

1. Построение графиков распределений в случае малой выборки

Для этого случая воспользуемся способом предложенным в [2]. Значения случайных величин, подлежащих обработке, представим в виде упорядоченного по возрастанию ряда. Такой ряд именуется вариационным. Значение функции распределения F(t_i) в i-й по порядку момент появления отказа можно оценить по следующей формуле

,

где i=1,2,...,n; n - размер выборки.

Оценка вероятности безотказной работы при этом выполняется по формуле

.

Соответствующие значения функции плотности можно определить так

,

тогда формула для оценки интенсивности отказов будет иметь следующий вид

.

Для иллюстрации применения этих формул рассмотрим пример.

Пример 8.1. Наработка до отказа для десяти пружин (в тысячах циклов) представлена в виде упорядоченного ряда в табл. 8.1.

Номер отказа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Наработка на отказ, тыс. циклов	170	193	210	245	265	300	320	325	345	370

Таблица 8.1.

Результаты вычислений сведены в табл. 8.2.

i	ti			ti+1-ti
1	170	0,063	0,933	23	0,00418	0,00448
2	193	0,163	0,837	17	0,00566	0,00676
3	210	0,260	0,740	35	0,00275	0,00372
4	245	0,356	0,644	20	0,00481	0,00747
5	265	0,452	0,548	33	0,00291	0,00531
6	298	0,548	0,452	22	0,00712	0,01580
7	320	0,644	0,356	5	-	-
8	325	0,740	0,260	22	0,00437	0,01681
9	347	0,837	0,163	23	0,00418	0,02564
10	370	0,933	0,063	-	-	-

Таблица 8.2.

Между седьмым и восьмым отказами получился короткий интервал в 5 тыс. циклов. Это бы привело к резкому скачку графиков плотности вероятности и интенсивности отказов, поэтому этот интервал был объединен с предыдущим (при подсчете показатели удваивались, т.к. в объединенном интервале произошло два отказа.) Такого рода объединение характерно для малых выборок. Оно позволяет сгладить результирующие графики, хотя обосновываются эти сглаживания чаще всего на интуитивном уровне и потому подтверждают предостережения, отмеченные вначале данного раздела .

Ниже приведены точечные графики для интегрального закона распределения и интенсивности отказов, построенные по результатам расчетов.

Рис. 8.1. Графики вероятностного распределения F(t) и интенсивности отказов (t)

Полезной процедурой при анализе малых выборок является проверка принадлежности минимального (первого) и максимального (последнего) членов вариационного ряда той же совокупности случайных чисел, что и остальные члены ряда. Это позволяет уменьшить вероятность включения сомнительных результатов испытаний в обрабатываемый массив данных. На этот счет существуют ряд критериев [4]. Рассмотрим один из наиболее строгих - критерий Романовского.

Для этого вычисляются выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение вариационного ряда без учета сомнительного (первого или последнего) члена. Далее задаваясь уровнем значимости  проверяется условие

,

где t_ - критическое значение критерия Романовского, t_c - сомнительный (первый или последний) член вариационного ряда. Критические значения критерия для различного уровня значимости приведены в табл.8.3

.

Таблица 8.3. Критические значения критерия Романовского

Число членов ряда (n-1)	t при 				Число членов ряда (n-1)	t при 
	0,05	0,02	0,01	0,001		0,05	0,02	0,01	0,001
2	15,6	39,0	78,0	779,7	15	2,2	2,7	3,1	4,3
3	5,0	8,0	11,5	36,5	20	2,2	2,6	2,9	4,0
4	3,6	5,1	6,5	14,5	25	2,1	2,5	2,9	3,8
5	3,0	4,1	5,0	9,4	30	2,1	2,5	2,8	3,7
6	2,8	3,6	4,4	7,4	40	2,0	2,5	2,7	3,6
7	2,6	3,4	4,0	6,4	60	2,0	2,4	2,7	3,5
8	2,5	3,2	3,7	5,7	120	2,0	2,4	2,6	3,4
9	2,4	3,1	3,5	5,3		2,0	2,3	2,6	3,3
10	2,4	3,0	3,4	5,0

Читателю предлагается самостоятельно проверить на соответствие критерию Романовского члены вариационного ряда из примера 8.1.