8.5 Доверительный интервал для стандартного отклонения случайной величины, распределенной нормально с неизвестным стандартным отклонением и математическим ожиданием
Пусть X - случайная нормально распределенная величина, математическое ожидание и стандартное отклонение которой неизвестны, но имеются выборочные несмещенные оценки этих величин и . Как уже упоминалось в п.4.5 случайная величина
,
распределена по закону ХИ-квадрат с (n - 1) степенью свободы (одна степень свободы здесь пропала из-за того, что неизвестно математическое ожидание).
Доверительная вероятность, соответствующая уровню значимости может быть представлена в виде
,
где 2(1-/2), n-1 и 2/2, n-1 - квантили (абсциссы) интегрального закона распределения ХИ-квадрат с (n-1) степенью свободы, которые соответствуют вероятности (ординате) равной (1-/2) и /2 соответственно.
Отсюда получаем выражение доверительной вероятности, из которого можно определить двухсторонний доверительный интервал для стандартного отклонения
.
Пример 8.6. Для исходных данных примера 8.5 по таблице интегрального закона распределения для 6 степеней свободы находим 20,025;6 = 1,24 и 20,975;6 = 14,4, тогда доверительный интервал
или 0,116
Sx
0,396 .
Заметим, что при той же оценке стандартного отклонения, но на основе выборки размером 31, доверительный интервал для того же уровня значимости в 5% составит 0,144 Sx 0,24 .
8.6. Проверка гипотез о законе распределения. Критерии согласия
Выше мы рассмотрели некоторые способы определения точности и надежности для таких параметров совокупности нормально распределенных случайных величин, как математическое ожидание и стандартное отклонение. Эти задачи относятся к классу задач оценки параметров и основаны на так называемых параметрических критериях сравнения. В нашем случае сравнивались вероятные значения параметров с их истинными значениями.
Для решения вопроса о виде полученного на основе выборки распределения вероятностей нужно использовать другой класс критериев - критерии согласия. Эти критерии позволяют установить, является ли расхождение между опытным законом распределения и предполагаемым теоретическим следствием ограниченности выборки (т.е. случайностью) или связана с тем, что предполагаемый закон не соответствует действительности.
Пусть на основе известной выборки нам предстоит проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет теоретическую функцию распределения F(X). Для этого нам необходимо рассмотреть другую случайную величину Y, которая должна характеризовать степень расхождения между теоретической F(X) и выборочной F*(X) функцией распределения. При этом Y выбирают часто таким образом, что закон распределения Y при достаточно большой выборке не зависит от закона распределения величины X. Так, например, наиболее простой критерий, предложенный А.Н. Колмогоровым, основан на максимальном значении абсолютной величины разницы между теоретической и выборочной функцией распределения, т.е. Y = max | F*(X) - F(X)|.
Если в результате проведения опытов величина Y приняла некоторое значение y, то можно поставить следующий вопрос: можно ли полученное значение расхождения Y-y объяснить случайными причинами, или оно настолько велико , что говорит и принципиальной разнице между теоретическим и статистическим распределением? Для ответа на этот вопрос нужно знать вероятность получения значений Y>y. Если она мала (и стало быть случайные причины отклонения не существенны), то гипотезу о теоретической функции распределения следует отвергнуть.
Популярны критерии: Колмогорова, ХИ-квадрат, Манна и др. Первые два критерия можно отнести к общим критерия согласия. Критерий , разработанный Манном и др. используется специально для распределения Вейбулла.
Примечание. Критерии согласия не являются логическим доказательством правильности статистической гипотезы, они лишь позволяют установить вероятность того, что гипотеза не противоречит эмпирическому распределению.