29. Предел и непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.

Преде́л фу́нкции — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x, стремящемся к a :

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Свойство1. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство. Каждую пару непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. Затем каждую пару полученных непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. В конечном итоге останется одна непрерывная функция.

Свойство2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

31. Поведение функции на бесконечности.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и . Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при .

Аси́мпто́та— прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность

32. Бесконечно малые функции, свойства бесконечно малых.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых.

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

33 . Бесконечно большие величины, связь бесконечно больших с бесконечно малыми.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.