- •29. Предел и непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
- •31. Поведение функции на бесконечности.
- •32. Бесконечно малые функции, свойства бесконечно малых.
- •33 . Бесконечно большие величины, связь бесконечно больших с бесконечно малыми.
- •34. Сравнение бесконечно малых. Первый замечательный предел.
- •35. Неопределённые выражения. Основные приёмы раскрытия неопределённостей.
- •36. Дифференцируемость функции, дифференциал и производная.
- •49. Градиент функции, производная по направлению.
- •6. Геометрические векторы, основные действия с ними: (сложение, умножение на числа, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение).
34. Сравнение бесконечно малых. Первый замечательный предел.
Первый замечательный предел
35. Неопределённые выражения. Основные приёмы раскрытия неопределённостей.
Неопределённые выражения в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах.
Приемы(см вкладку)
36. Дифференцируемость функции, дифференциал и производная.
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.. условием дифференцируемости является непрерывность функции
Дифференциал функции - это произведение производной f ’( x0 ) и приращения аргумента :
df = f ’( x0 ) · .
Производная задаёт касательную в какой-то точке графика.
Дифференциал показывает, какое бы значение было у функции, если эту функцию заменить её касательной ("кривой" график поменять на прямую).
дифференциал - это часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента: dy = y` dx - (похоже на уравнение прямой линии - y = kx, поэтому называется линейной частью), коэффициент y` - это производная.
Производная, по определению, - это предел отношения dy / dx при dx стремящемся к 0.
37. Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование.
Правила д.
Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него
38.Будет дан пример. Необходимо взять дифференциал второго порядка.Производные и дифференциалы высших порядков.
39. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля.
теорема Ферма
Для любого натурального числа n>2 уравнение
не имеет натуральных решений a ,b и c .
теорема Ролля
Если вещественная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
44. Исследование функций и построение графиков.
См приложение/ тетрадь
45. Функция нескольких переменных
Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).(см.тетрадь)
48.Также как и в 38 вопросе. Только дифференциал первого порядка.Дифференцируемость функции нескольких переменных, дифференциал первого порядка, частные производные и частные дифференциалы первого порядка. (см тетрадь)
49. Градиент функции, производная по направлению.
Градие́нт— вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.
50. На примере.Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. См тетрадь
51. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных.
52. Условные экстремумы функции нескольких переменных. Основные методы поиска условных экстремумов.
53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции
F'(x) = f(x).
Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом
54. Свойства неопределённого интеграла. Вычисление интегралов непосредственным интегрированием с учётом свойств интеграла.
Свойства:
1)постоянную можно выносить за знак интеграла
2)интеграл суммы равен сумме интегралов
3)производная от интеграла равна подынтегральной функции
4)интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования
2. Множества и их важнейшие свойства. Основные действия над множествами.
Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Свойства: Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством. Его обозначается знаком . Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М. Каждое множество М является подмножеством самого себя: ММ. Любое подмножество N множества М, отличное от М, называется собственным подмножеством множества М. Операций над множествами: а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно. Обозначение: МN = {х|хМ и хN}. б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: MN = {х | хМ или хN}. в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = {х | хМ и хN}. г) Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N. Обозначение: MN ={ x | (xМ и хN) или (хN и хМ)}