- •2.Умножение вектора на число.Свойства операций сложения и умножения.
- •4. Декартова система координат. Действия с векторами в этой системе
- •7. Угол между n-мерными векторами. Условие ортогональности вектора.
- •8. Матрицы. Действия с матрицами и их свойства.
- •12. Частные случаи разложения векторов
- •16. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов
- •17, 18. Базис системы векторов. Алгоритм построения базиса системы векторов. Основные теоремы о базисах системы векторов.
- •22. Свойства определителей
- •23.Алгебраическое дополнение
- •24. Вычисление определителей
- •25. Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.
- •26. Системы линейных уравнений. Формы записи систем уравнений.
- •27. Теорема о совместности системы линейных уравнений.
- •28. Теорема об определенности системы уравнений
- •29. Теорема Крамера
- •30. Метод Гаусса
- •31. Однородные системы линейных уравнений
- •32. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
- •33. Общее решение системы линейных уравнений
- •34. Предмет лп. Матем модель эк зад
- •35. Общая задача линейного программ-ия
- •36. Мат.Модели эк.Задач.
- •37. Каноническая форма линейного прогр-ния
- •38. Приведение общей задачи лп к канон.Форме:
- •39. Графический метод решения злп.
- •40. Графический метод решения задачи лин прогр-ния с n переменными(неизвестными).
- •43. Допустимые преобразования канонической задачи
- •44. Разрешенная каноническая задача лин прогр-ния
- •45. Симплексный метод решения задач
- •48. Понятие о двойств.Задачах. Мат.Модель 2-ной злп.
- •49. Правила составления двойственной задачи
- •50. Первая теорема двойственности
- •51. Вторая теорема двойственности
- •52. Тзлп.
- •53. Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи
- •54. Понятие цикла.Условие опорности допустимого решения. Метод вычёркивания проверки опорности решения задачи.
- •55. Метод минимальной стоимости.
- •57. Распределительный метод решения тз.
- •58. Метод потенциалов.Его алгоритм.
- •59. Особенности реш-я тз с неправ.Балансом.
1. Понятие геометрического вектора.Равенство векторов.Сложение векторов.
Упорядоченный набор n действительных чисел будем называть n- мерным вектором, его элементы (i = 1, 2, …, n) назовем компонентом вектора, n – размерность вектора
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.
Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB. Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками: → a , → r , → x Операции над векторами:
Равенство В.
Будем говорить, что 2 вектора равны между собой , если они имеют одинаковую размерность n и их соответствующие компоненты равны, т.е
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
Т.е. существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно.
Сумма векторов.
Суммой двух векторов и называется вектор , направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.
Суммой векторов , имеющих одинаковую размерность, является вектор:
2.Умножение вектора на число.Свойства операций сложения и умножения.
Геометрически произведение ненулевого вектора на число k – это вектор, длина которого равна ka, где a = – длина данного вектора, а направление, приa 0, совпадает с направлением вектора , если k > 0 и противоположно, если k < 0. Если хотя бы один из сомножителей – вектор или число – равен нулю, то и произведение равно нулю.
При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число.
Для любых векторов a,b,c и любых вещественных чисел α, β выполняются следующие свойства:
1) a+b= b+a (свойство коммутативности операции сложения); 2)(a+b ) +c =a+( b+c)(свойство ассоциативности операции сложения);
3) a+0 =a ; 4) a+(-a)=0 ; 5) (свойство ассоциативности по отношению к числам); 6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число); 7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор; 8) .
3. Скалярное произведение и его свойства. Длина вектора. Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
= | || |cos
Свойства скалярного произведения:
1) = | 2;
2) = 0, если или = 0 или = 0.
3) = ;
4) ( + ) = + ;
5) (m ) = (m ) = m( ); m=const
Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка AB. Длина вектора (вектора ) обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: .
1.если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле:
2.длины вектора по координатам:
4. Декартова система координат. Действия с векторами в этой системе
Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей Ox и Oy с общей начальной точкой O. Числовые оси называются осями координат, а именно: ось Ox – осью абсцисс, ось Oy – осью ординат. Точка O называется началом координат. Пусть A – произвольная точка плоскости, отличная от начала координат, Ax и Ay – основания перпендикуляров, опущенных из точки A соответственно на оси абсцисс и ординат (в случае, если A лежит на одной из осей, например, абсцисс, под Ax понимается сама точка A, а Ay совпадает с точкой O). Абсциссой точки A называется координата x точки Ax на оси абсцисс, а ординатой точки A – координата y точки Ay на оси ординат. Координатами точки плоскости называются ее абсцисса и ордината, взятые в указанном порядке. Обе координаты точки O, начала координат, очевидно, равны нулю. При необходимости указать, что точка A имеет координаты x и y будем записывать A (x; y). Плоскость с введенной декартовой системой координат называется плоскостью Oxy.
СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ
Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) .
5. N-мерные вектора. Действия с n-мерными векторами
N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.
Действия над векторами:
Умножение вектора на число
Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)
Действия над векторами
Умножение вектора на число
Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)
Сложение векторов
Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:
Свойства линейных операций:
А + В = В + А
(А + В) + С = А+(В + С)
λ(А + В) = λА + λВ
(λ+ μ)А = λА + μ А
λ(μ А) = (λμ)А
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется величина, вычисляемая по формуле:
Модуль (длина) вектора
Угол между векторами
6. Т-ма о числ.соотнош.между 2-мя в-рами. Если А и В есть n-мерные в-ра, то справедлива следующие соотношения:
1) |K*A|=|K|*|A|, где К-число
2) |A*B|≤|A|*|B| нер-во Коши-Буняковского
3) |A+B|≤|A|+|B| нер-во треугольника
Д-ва:
1)|kA| = √(kA)(kA)= √k2(AA)= √k2√AA=|k||A|
2)C = A2B – A(AB); A2=k, AB=l; выраз. С2, обрат.замена; C2≥0 => A2(A2B2 – (AB)2)≥0, т.к. A2≥0, A2B2 – (AB)2≥0 A2B2≥(AB)2; извл.корень |AB| ≤ |A||B|
3) Т.к. AB≤|AB|, |AB|≤|A||B|, то AB≤|A||B|. |A+B|2=(A+B)2=A2+2AB+B2≤|A|2+2|A||B|+|B|2=(|A|+|B|)2, т.е. |A+B|2≤(|A|+|B|)2 |A+B|≤|A|+|B|
n-мерный в-р, длина которого равна единице, называется нормированным.