16. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

1. Любая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима

2. Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима

3. Если система векторов является линейно независимой, то и любая её часть является линейно независимой

Теорема: справедливы следующие утверждения:

1. Если система векторов A_i линейно зависима, то хотя бы один из векторов может быть разложен по остальным векторам

2. Если система векторов A₁; A₂; …; A_n-1; A_n линейно зависима,а её часть линейно независима (А₁ – А_n-1), то вектор An разлагается по системе векторов (A₁ – A_n-1)

Следствие: если вектор A_n не разлагается по системе векторов A₁ – A_n-1, то вся система векторов является линейно независимой.

17, 18. Базис системы векторов. Алгоритм построения базиса системы векторов. Основные теоремы о базисах системы векторов.

Определение: базисом системы векторов A₁ – A_n называется такая её часть, которая удовлетворяет следующим условиям: а) В₁; В₂;…;B_n – линейно независимая система векторов; б) любой вектор системы, не входящий в базис, разлагается по векторам базиса

Теорема: если диагональная система векторов является частью системы векторов A1 – An, то она является базисом системы векторов A₁ – A_n. Доказательство: диагональная система – линейно независима + любой вектор можно разложить по диагональной системе векторов => она базис

Лемма: если линейно независимая часть C₁ – C_l системы векторов A₁ – A_n и не является её базисом, то существует такой вектор C_l+1, что C₁; C₂; …; C_l; C_l+1 тоже линейно незав.

Теорема: любую линейно независимую часть C₁ – C_k системы векторов A₁- A_n можно дополнить до базиса этой системы. Следствие: если система векторов A₁ – A_n содержит ненулевой вектор, то она имеет базис

Теорема: каждый вектор системы векторов A₁ – A_n единственным образом разлагается по векторам её базиса

A₁; …; A_n

B₁; …; B_c (C не принадлежит В)

Из С = С₁В₁ + l₂B₂ + … + l_kB_k вычитаем C = t₁B₁ + t₂B₂ + … + t_kB_k =>

Ø = B₁(l₁ – t₁) + B₂ (l₂ – t₂) +…+ B_k (l_k – t_k) <= ЛНЗ, следовательно,

l₁ – t₁ = 0

l₂- t₂ = 0

l_k – t_k = 0

l_k и t_k – одинаковые => двух разных векторов быть не может

Теоремы: 1) Пусть задана система векторов A1 – An и соответствующая ей система векторов, тогда вектора, соответствующие диагональной части разрешённой системы векторов образуют базис исходной системы векторов 2) Вектор A_j разлагается по найденному в пункте 1 базису с теми же коэффициентами, с которыми вектор A_j’ (соответствующий вектор в разрешённой системе векторов) разлагается по диагональной части разрешённой системы векторов.

19. Ранг системы векторов. Теорема о количестве векторов в базисах системы. Свойства ранга системы векторов. Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.Теорема. Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.Теорема. Вектор Aj разлагается по найденному базису с теми же коэффициентами, с которыми вектор Ajʹ разлагается по диагональной части разрешённой системы векторов.Теорема. Каждый вектор системы векторов A1-An единственным образом разланается по векторам её базиса.

20. Обратная матрица. Теоремы об обратимых матрицах. Определение. Пусть А – квадратная матрица порядка n. Если существует такая квадратная матрица B, что А*В=В*А=Е, то матрица В называется обратной для матрицы А, а матрица В в этом случае называется обратимой.Обозначение обратной матрицы: В=А^-1

Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной.

1. Формируем расширенную n*2n -матрицу [A|E] , приписывая к матрице А справа единичную матрицу Е того же порядка.

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.

3. Если это удается сделать, то матрица, получившаяся в правой половине и будет А^-1. Если это сделать невозможно, то detA=0, т.е. А^-1 не существует.

Следствие. Обратная матрица единственна: если В₁А = E и В₂A = E, то В₁ =В₂ .

Теорема об обратимых матрицах.

Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу.

Теорема. Если ранг квадратной матрицы A порядка n равен n, то матрица A обратима

21. Определитель квадратной матрицы. Правила их вычисления. Определение. Определителем квадратной матрицы А называют число, которое вычисляется при помощи 3-х правил.

Теорема. Определитель любой матрицы равен сумме произведений элементов любой её строки/столбца на их алгебраические дополнения.

Опр. алгебраическим дополнением элемента a_ik в определителе А(в detА) называется величина (-1)^i+k, умноженная на det A_ik.

1 правило. Определитель диагональной матрицы = произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2 правило. Общий множитель элементов любой строки/столбца можно вынести за знак определителя.

3 правило. Определитель матрицы не изменится, если к её любой строке/столбцу прибавить другую стоку/столбец.

Следствие 1. Определитель матрицы, состоящий из одного элемента, равен значению этого элемента.

Следствие 2. Определитель матрицы, у которой 1 строка/столбец состоит из одних нулей, равен нулю.

Теорема. Определитель не изменится, если к любой его строке /столбцу прибавить другую строку/столбец, умноженную на число k.

Следствие 3. Если к любой строке/столбцу прибавить линейную комбинацию др. строк/столбцов, то определитель не изменится.