27. Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сфериче­ской системе координат.

(x,y,z) – корд в д.с.к. т.М. М(φ,θ,r) – корд в сферич с.к. 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π, 0 ≤r<+∞. Ф-лы связи межд д.с.к и сферическими: {x=rsinθcosφ, {y=rsinθsinφ, {z=rcosθ; Исследуем: 1) φ=С {x=rsinθcosС, {y=rsinθsinС, {z=rcosθ; исключаем r,θ y/x=tgC, y=xtgC – сем-во пл-тей, проходящих ч/з ось аппликат(oz). 2) θ=С {x=rsinСcosφ, {y=rsinСsinφ, {z=rcosС; Исключаем r и φ {x²+y²=r²sin²C {r=z/cosC, x²+y²=z²*sin²C /cos²C x²+y²=z²tg²C -сем-во конич пов-й с осью oz. 3) r=C {x=Сsinθcosφ, {y=Сsinθsinφ, {z=Сcosθ; x²+y²+z²=C² – cем-во концентрич сфер в центре –нач-ле координат.

☼ Определитель 3го порядка вида: J(φ,θ,r)= - якобиан перехода от д.с.к. к сферической. Имеем: J(φ,θ,r)= = |расклад по 3й строке| = rsinθ +cosθ = rsinθ(-rsin²θsin²φ –rsin²θcos²φ) +cosθ(-rsinθcosθsinφ –r²sinθcos²φ)= -rsin³θ –r²sinθcos²θ= -r²sinθ. J(φ,θ,r)= -r²sinθ. |J(φ,θ,r)|=r²sinθ – якобиан перехода от д.с.к. к сферич. f(x,y,z)dxdydz= f(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ)*r²sinθ dφdθdr - ф-ла перехода от дек коорд к сферическим.

27. Приложения тройных интегралов.

1) V_T= dxdydz

2) m= μ(x,y,z)dxdydz, μ=μ(x,y,z) – пл-ть распред массы по телу V. Зам-е: если тело однор, то μ=const.

3) Статические моменты относительно корд пл-тей

M_XY= z μ(x,y,z)dxdydz

M_XZ= y μ(x,y,z)dxdydz

M_YZ= x μ(x,y,z)dxdydz

4)x_C= x μ(x,y,z)dxdydz / μ(x,y,z)dxdydz,

y_C= y μ(x,y,z)dxdydz / μ(x,y,z)dxdydz,

z_C= z μ(x,y,z)dxdydz / μ(x,y,z)dxdydz,

5) Момент инерции

1) Относит нач корд:

J₀= (x²+y²+z²)μ(x,y,z)dxdydz,

2)Относит осей коорд

J_X= (y²+z²)μ(x,y,z)dxdydz,

J_y= (x²+z²)μ(x,y,z)dxdydz,

J_Z= (x²+y²)μ(x,y,z)dxdydz,

3)Относит пл-тей коорд

J_XY= z² μ(x,y,z)dxdydz,

J_XZ= y² μ(x,y,z)dxdydz,

J_YZ= x² μ(x,y,z)dxdydz,

27. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.

☼ Кривая называется спрямляемой, если в любой ее точке можно провести касательную, непрерывно изменяющуюся вдоль всей ее кривой.

Берем спрямляемую без т самопересчения кривую AB. Пусть на АВ определена ф-я f(P), тР (АВ). Произв образом разбиваем АВ на n элемент кривых точками Р₀=А,Р₁, …,Р_n=В. (Р_k-1,P_k), k=1,n - элемент кривые. Длина эл кривой ∆l_k, k=1n. Выбираем наиб длину кривой, max(∆l_k)=λ. Произвольным образом на кажд кривой выбираем точку М_k (P_k-1,P_k), k=1n и вычисляем значение: f(M_k), k=1n. Составл произведение f(∆M_k) ∆l_k, k=1n.

f(M₁) ∆l₁+f(M₂) ∆l₂+…+f(M_n) ∆l_n= (1) Сумма (1) – интегр сумма для криволин инт 1 рода для ф-и f(P) по кривой АВ. Будем неогранич увеличивать число элемент кривых, чтобы они стягивались в точку.

☼Если при стремлении к 0 наибольшей из длин элем кривых существует конечный предел интегральной суммы (1), к-й не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные, ни от выбора точек на элемент кривых, то он называется - криволин инт 1 рода для ф-и f(P) по кривой АВ и обозначается следующим образом: .

Получили: = Зам-я: 1) Аналогичный процесс может быть применен и в случае замкнутой кривой, если за т. Р₀(или Р_n) выбрать любую т кривой, а ост т Р_k располагать в соответствии с выбранным направлением на кривой. 2) Опр крив инт 1 рода не связано с выбором сист корд, поэтому оно инвариантно. Если в пр-ве задана д.с.к, то ф-я f(P) становится ф-й f(x,y,z). Тогда предел = , где M_K(x_K,y_K,z_K) (P_k-1,P_k),k=1n. Если крив АВ – плоская, то ф-я 2х переем f(x,y), тогда =

Теор Необх усл-е существ криволин инт 1 рода: Если ф-я f(P) интегрируема на спрямляемой, без т. самопересечения кривой АВ, то она ограничена на этой кривой.

Теор Дост усл сущ-я крив инт 1 рода: Если ф-я f(P) непр на спрям, без т. самопер крив АВ, то она интегрируема на эт кривой.

Физич смысл кривол инт 1 рода: Если ф-я f(P) выражает пл-ть распределения массы вдоль кривой АВ, то кривол инт 1 рода от этой ф-и есть масса кривой АВ. M_AB=

Зам-я: 1) Св-ва крив инт 1 рода аналогичны св-вам 2х и 3х интегралов. 2) Крив инт 1 рода не зависит от направления кривой. = 3) Если подинтегральн ф-я= 1 на всей кривой, то крив инт на АВ = длине этой кривой =l_AB. 4) Теор о среднем Если ф-я f(P) непр, спрямл, без т. самопересечения на крив АВ, то найдется такая т Р, что крив инт этой ф-и=значению этой ф-и в т Р на длину кривой. =f(P’)l_AB. Вычисл крив инт 1 рода Т1 Если выполн усл: 1) ф-я f(x,y,z) непр на спрямл, без . самопересеч крив АВ, 2) крив АВ задана параметрически {x=φ(t), {y=ψ(t), {z=h(t), t [α,β]. Причем, когда t пробегает отрезок [α,β] соотв значения x,y,z пробегают АВ. 3) φ(t), ψ(t), h(t) – имеют непр произв на АВ, то криволин интеграл 1 рода сводится к определенному интегралу: =

Т2 Если выполн усл-я: 1) ф-я f(x,y) непр на спрямл, без . самопересеч крив АВ, 2) крив АВ задана параметрически {x=φ(t), {y=ψ(t), t [α,β]. Причем, когда t пробегает отрезок [α,β] соотв значения x,y пробегают АВ. 3) φ(t), ψ(t) – имеют непр произв на [α,β], то криволин интеграл 1 рода для ф-и сводится к определенному интегралу: = зам-я: если крив АВ задана ур-м, разрешимым относительно одной из переменных, н-р, y=g(x), x [a,b], то =

Крив инт 2го рода Возьмем плоский случай. Пусть задана спрямляемая, без т самопересечения направленная кривая АВ, определена ф-я f(x,y). Произвольн образом кривую АВ делим на n кривых. Р₀=А,Р₁, …,Р_n=В. (Р_k-1,P_k), k=1,n - элемент кривые. Длина эл кривой ∆l_k, k=1n. Выбираем наиб длину кривой, max(∆l_k)=λ. Произвольным образом на кажд кривой выбираем точку М_k (P_k-1,P_k), k=1n и вычисляем значение: f(M_k), k=1n. Составл произведение f(∆M_k) ∆х_k, k=1n, ∆x_K=x_K-x_K-1. Суммируем по всем k

f(M₁) ∆х₁+f(M₂) ∆х₂+…+f(M_n) ∆х_n= (1) Сумма (1) – интегр сумма ф-и f(x,y) на напрявленной кривой АВ по коорд х. ☼Если при стремлении к 0 наиб из длин кривых λсуществует конечный предел интегральной суммы (1), не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек на кажд элент крив, то он наз-ся криволинейн интеграл 2 рода для ф-и f(x,y) по направленной кривой АВ и координате х, обозначается: = . Аналогично можно получить по другим координатам: = . Аналогично пространственный случай f(x,y,z): по х = , по у = , по z =

☼Если P(x,y,z,), Q(x,y,z), R(x,y,z) на спрямляем, без т. самопересеч, простр крив АВ, ф-и определены на крив АВ, тогда существ: , , , то криволин интеграл 2 рода вида: + + - обобщенный интеграл 2 рода.

Физический смысл крив инт 2 рода: Если ф-и P(x,y), Q(x,y) – проекции силового поля соотвенно на оси координат ox,oy,oz, то + , выражает работу силового поля по перемещению единицы массы из т. А в т.В, в направлении кривой АВ.

Вычисление крив инт 2 рода Т1 Если выполн усл: 1) ф-я f(x,y) непр на спрямл, без т. самопересеч направленной крив АВ, 2) крив АВ задана параметрически {x=φ(t), {y=ψ(t), t [α,β]. t=α A, t=β B 3) φ(t), ψ(t), – имеют непр произв, = по коорд х, = по коорд у

Т2 Если выполн усл-я: 1) ф-я P(x,y), Q(x,y) непр на спрямл, без т. самопересеч направленной крив АВ, 2) крив АВ задана параметрически {x=φ(t), {y=ψ(t), {z=h(t), t [α,β]. t=α A, t=β B 3) φ(t), ψ(t) – имеют непр произв на t [α,β], то + = Вывод: Кривол инт 2 рода зависит от пути интегрирования.

Т3 Если выпоолня усл-я: 1) ф-я P(x,y), Q(x,y) непр на спрямл, без т. самопересеч направленной крив АВ, 2) крив АВ задана ур-м, разрешенным относительно 1 из переменных y=g(x); x [a,b], x=a A, x=b B, 3) Ф-я g(x) – имеет непр произв на АВ, то крив инт по кривой АВ + =

Т4 Если выполн усл-я: 1) ф-я P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) - непр на спрямл, без т. самопересеч направленной крив АВ, 2) крив АВ задана параметрически {x=φ(t), {y=ψ(t), {z=h(t), t [α,β]. t=α A, t=β B 3) φ(t), ψ(t), h(t) – имеют непр произв на АВ, то справедливо: + + = [P(φ(t),ψ(t),h(t))φ’(t)+ Q(φ(t),ψ(t),h(t))ψ’(t)+ R(φ(t),ψ(t),h(t))h’(t)]dt

Ф-ла Грина ☼Направление обхода замкнутого контура – положит, если обл-ть, ограниченная этим контуром лежит слева от наблюдателя. Установим связь между крив инт по замкнутому контуру и двойным интегралом по обл-ти, огранич этим замкнут контуром.

Т Грина: Если P(x,y) и Q(x,y) непр в обл-ти D и на ее границе ∂D=L, то справедлива ф-ла: P(x,y)dx+Q(x,y)dy= (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy - формула Остроградского-Грина

Зам-е: 1) Ф-ла Грина позволяет вычислять площадь фигур

2) Пусть ф-я P(x,y), Q(x,y) непр в односвязной обл-ти D. Контур АВ полностью лежит в обл-ти D (AB D), тогда справедлива теорема: Т5 Независимость криволин интегр от пути интегрирования. Для того,чтобы криволин инт не зависил от пути интегрир – необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1) ф-и P(x,y) и Q(x,y) непр в обл-ти D 2) частн произв непр в обл-ти D и равны между собой в обл-ти D ∂Q/∂x = ∂P/∂y

3) Для вычисления интегр не зависящего от пути интегрирования (важна нач и конечн точки) в качестве наивыгоднейшего пути целесообразно брать ломаную соединяющую эти т (х₀,у₀) и (х₁,у₁), звенья к-й || осям координат P(x,y)dx+Q(x,y)dy

4) При указанных условиях в зам-и 3) подинтегральное выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy – является полным диф-алом нек-й ф-и du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy Ф-ю u(x,y) – первообразную – можно найти вычисляя соответств криволин интеграл по ломанной A₀A₁B, где А₀(х₀,у₀) – произвольная фиксированная т. обл-ти D. В(х,у) – переменная точка, А₁ –опред по чертежу. u(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy= P(x,y)dx+Q(x,y)dy

+ P(x,y)dx+Q(x,y)dy= P(x,y₀)dx+ Q(x,y)dy, (А₀А₁):у=у₀, ∂у=0, (А₁В):х=const, dx=0 u(x,y)= P(x,y₀)dx+ Q(x,y)dy+C,

A₀A₂B u(x,y)= Q(x₀,y)dy+ P(x,y)dx +C.

Теорема 6 Ф-я P(x,y), Q(x,y) непр со своими частн произв 1го порядка в нек-й односвязной обл-ти D, тогда для того,чтобы криволин инт по любому замкн контуру был =0 необх и достаточно, чтобы выполнялось условие: ∂Q/∂x = ∂P/∂y, (х,у) D P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Связь между криволин инт 1го и 2го рода. Пусть ф-и P(x,y), Q(x,y) непр на гладкой, направлен кривой АВ. Т.к. кривая гладкая, то в любой т можно провести касат, к-я по направлению совпадает с направлен крив АВ. Обозначим ч/з α, β углы,к-е образует касат вектор АВ с осями корд ох,оу. Тогда справедлива ф-ла: P(x,y)dx+Q(x,y)dy= [P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]dl - связь между крив инт 1-2 рода,плоский случай.

Пусть α, β,γ –углы,к-е составляет касат вектор кривой АВ с соотв осями координат P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz= [P(x,y,z)cosα+ Q(x,y,z)cosβ+ R(x,y,z)cosγ]dl

Приложения криволин инт 1) =l_AB

2) S_D=1/2 xdy-ydx Кривая обходится против час стрелки, По ф-ле остр-грина: Пусть P(x,y)=0, Q(x,y)=х (1-0)dxdy= 0dx+xdy= S= xdy. Полагаем, что P(x,y)= -y, Q(x,y)=0 S= - ydx. Сложив почленно и поделив на 2 получим ф-лу S_D.

3) Распределение массы: μ= μ(x,y,z) вдоль кривой АВ по длине:

m_AB= μ(x,y)dl

4) Коорд центра тяж-ти: x_C= x μ(x,y)dl / m, y_C= y μ(x,y)dl / m ;

5) Момент инерции J­_0­= (x²+y²) μ(x,y)dl J_x= y² μ(x,y)dl J_Y= x² μ(x,y)dl

6) Работа силы F по перемещению ед массы из тА в тВ вдоль направленной кривой АВ. F(x,y)=P(x,y) +Q(x,y) , A= P(x,y)dx+Q(x,y)dy