3.Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Так как определение характера поведения функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки приводится с помощью новых обозначений к исследованию поведения функции ϕ(z') в окрестности нулевой точки, то все заключения предыдущих параграфов переносятся на случай бесконечно удаленной точки. Так, если функция f(z) имеет в бесконечности полюс, то =∞, для существенно особой точки – функция неопределенна. Наконец, в достаточно малой окрестности устранимой бесконечно удаленной особой точки функции f(z) эта функция является ограниченной. Обратно, функция f(z), для которой бесконечность есть изолированная особая точка, имеет в ней: а) полюс, если она в достаточно малой окрестности этой точки становится сколь угодно большой (по модулю);

3

б) существенно особую точку, если f(z) в сколь угодно малой окрестности бесконечно удаленной точки становится неопределенной; в) устранимую особую точку, если в достаточно малой окрестности этой точки функция f(z) ограничена.

4.Простейшие классы аналитических функций.

На основании характера особых точек можно определить различные классы функций. Например, всякая целая рациональная функция имеет единстенную особую точку в бесконечности, которая служит для неё полюсом.

Обратно, если однозначная функция f(z) имеет в бесконечности единственную особую точку – полюс, то такая функция есть целая рациональная. Функция, изображаемая бесконечным степенным рядом с радиусом сходимости R=∞, называется целой трансцендентной функцией. Такая функция имеет единственную особую точку в бесконечности, которая является для нее существенно особой. Верно и обратное. Итак, целой функцией называют всякую функцию, голоморфную во всей плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, причем эта функция будет трансцендентной, рациональной или постоянным числом, смотря по тому будет ли бесконечно удаленная точка существенно особой, полюсом или устранимой особенностью. Более общим, чем класс целых функций, является класс мероморфных функций. Мероморфной называют всякую однозначную функцию, не имеющую в конечной части плоскости других особых точек кроме полюсов. В частности, всякая рациональная функция принадлежит к этому классу.

4

5.Теорема Коши о вычетах.

Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности V = {0< |z − a| < ε} точки a ∈ C, так что a является ее изолированной особенностью. Определение. Вычетом функции f в изолированной особой точке a ∈ C называется число

res_a f= где 0 < r < ε (по теореме Коши этот интеграл не зависит от выбора r).Теорема Коши о вычетах. Пусть D ⊂ C — область с простой границей и G — некоторая область в C, содержащая замыкание D области D. Предположим, что функция f голоморфна всюду в области G, за исключением конечного числа особых точек a₁, . . . , a_n ∈ D. Тогда

d ζ=2 _ajf.

Доказательство. Выберем ε > 0 так, чтобы круги

B_j := {z ∈ C : |z – a_j | < ε}, j = 1, . . . , n. попарно не пересекались, а их замыкания содержались в D (см.рис. 30). Тогда по теореме Коши для многосвязной области (п. 5.2)

Dε := D _J будем иметь

0 = -

= - _aj f,

что и требовалось доказать.

5

5.Вычеты функции относительно изолированной особой точки.

Если функция f(z) голоморфна в некоторой точке а, то по теореме Коши, имеем =0 (1), где С – произвольный замкнутый контур, содержащий внутри себя точку а и малый настолько, что функция f(z) голоморфна всюду внутри контура и на контуре. Если же а будет изолированной особой точкой функции f(z), и замкнутый контур С целиком лежит в окрестности этой точки а, то значение dz будет отличным от нуля. Это значение, как следует из теоремы Коши, не зависит от формы контура С. В окрестности точки а [0<|z-a|<r] функция f(z) может быть разложена в ряд Лоранa f(z)=c₀+c₁(z-a)+…+c_n(z-a)ⁿ +…+ + +…+ +… (2), который будет равномерно сходящимся на линии С, так как контур С лежит в окрестности точки а. Интегрируя почленно ряд (2) вдоль С, получим

c_-1 2πi (3), так как ^mdz=0, (m=0, 1, 2,…); =2πi; =0, (n=2, 3,…)

Значение интеграла называют вычетом (residue) функции f(z) относительно особой точки а. Итак, вычет f(z) относительно особой точки а равен c_-1, то есть коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана (2). Поэтому, вычет может быть отличен от нуля только в том случае, если а есть полюс или существенно особая точка. Для устранимой особой точки с_-1=0.