9.Приложение теории вычетов к вычислению интегралов.

Пусть f(z) – функция, голоморфная всюду в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек a₁, a₂,…, a_k, лежащих сверху от действительной оси. Кроме того, предположим, что бесконечно удаленная точка является нулем функции f(z) порядка по крайней мере второго. Тогда имеет место формула ∑ res относительно a₁, a₂,…, a_k. В самом деле, разложение Лорана функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будет: f(z)= + +… (1). Опишем из нулевой точки, как центра, полуокружность К, лежащую в верхней полуплоскости, радиуса R столь большого, чтобы все особые точки a₁, a₂,…, a_k находились внутри полукруга, граница которого состоит из полуокружности К и отрезка (-R, +R) действительной оси.

В силу основной теоремы о вычетах + Покажем теперь, что стремится к нулю, когда радиус R стремится к бесконечности. В самом деле, во всех точках полуокружности К имеем |f(z)|≤

+ +…= + [ + …] (2). Выражение в скобках неравенства (2) может быть сделано сколь угодно малым, например,меньше единицы, начиная с достаточно большого R. Следовательно, из (2) получаем |f(z)| < (3) всюду на полуокружности К, начиная с достаточно большого R. Пользуясь неравенством (3), оценим величину модуля интеграла :| πR=π , то есть имеем

10

Заметив это, из формулы (**) переходим к пределу при R→∞

_I , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть функция f(z) удовлетворяет условиям, отмеченным в предыдущем разделе и равномерно относительно arg z=ϕ. Тогда, ^ix dx=2πi ^iz Замечание 1. Если под знаком интеграла есть сомножитель sin x или cos x, то часто удобно рассматривать интеграл от функции, где sin x или cos x заменяют на e^iz. Это объясняется тем, что |sin z| и |cos z| - не стремятся к определенному пределу, а |e^iz| =e^-y→0 при y→∞ (y>0). Поэтому, поведение функции f(z) будет, вообще говоря, другое, чем у функции f(z). Затем, получив значение интеграла ^ix dx, выделяя действительную и мнимую часть, найдем и .

11