4 а) Функция f (х) называется монотонно возрастающей (или просто возрастающей) в интервале а < х < b, если из условия  x₂ > x₁ , вытекает, что

f (х₂) > f (х₁)

При этом

а < х₂ < b,     а < х₁ < b.

Другими словами, функция называется монотонно возрастающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует большее значение функции.

Б) Функция у = f (х) называется монотонно убывающей (или  просто убывающей) в интервале а < х < b, если из условия x₂ > x₁ вытекает, что

f (х₂) < f (х₁)

При этом

а < х₂ < b,     а < х₁ < b.

Другими словами, функция называется монотонно убывающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует меньшее значение функции.

В) г) Пусть имеется множество  , на котором введено отношение порядка.

Последовательность   элементов множества   называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

 — неубывающая 

Последовательность   элементов множества   называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

 — невозрастающая 

Последовательность   элементов множества   называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

 — возрастающая 

Последовательность   элементов множества   называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

 — убывающая 

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Д) Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

• если  , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));

• для любого   выполнено равенство 

f (x + T) = f (x).

Поскольку   то из приведенного определения следует, что f (x – T) = f (x).

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где  , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

Е-ж) Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областяхматематического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения  , например, отрезка или интервала.

• Функция   называется чётной, если справедливо равенство

• Функция   называется нечётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется индифферентной

(или функцией общего вида).

З) Линейная функция — функция вида

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией

И)

К) Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

где   ,    — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

, где P(x) и Q(x) — многочлены.

5 Числовая последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Иногда удобно использовать геометрическое определение предела последовательности.

Число а называют пределом последовательности , если в любой окрестности а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Эта окрестность называется - окрестностью.

Если последовательность обладает следующим свойством: какое бы большое постоянное положительное число А ни взять, все достаточно далекие значения окажутся большими, чем А

то говорят, что стремится к плюс бесконечности или имеет своим пределом плюс бесконечность, и пишут .

Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то .

Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что

также существует

Возьмем , которое больше и . Тогда

Обозначение. есть предел :

,

— стремится (сходится) к ,

6 Какая числовая последовательность называется монотонной? Ограниченной?

Сформулировать теоремы о пределе монотонной последовательности и неравенстве

пределов.

 Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность.

Последовательность называется ограниченной сверху, если все члены последовательности .

Последовательность называется ограниченной снизу, если все члены последовательности .

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

  Пусть при всех    выполняется неравенство  . Предположим, что существуют пределы   и  . Тогда   (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства .

7

8 Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и — числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ). Доказательство. Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае — отрезок и т. д.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0). Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке: lim x → x0 f(x) = f(x0), (1) т.е. " O( f(x0) ) $ O(x0) : x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

9 Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если f(x) = f(a). Термин непрерывная функция применяется в случае, когда f непрерывна во всех точках, где она определена.

Сумма f(x)+g(x) и произведение f(x)g(x) двух непрерывных функций являются непрерывными; частное f(x)/g(x) определено и непрерывно в точке а, если g(x)≠0.

Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от точки Р в ограниченном замкнутом множестве обычного пространства любого числа измерений- это есть линейное нормированное пространство.

Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт: пусть f(x)- непрерывная функция в конечном интервале [a,b]; тогда при любом n существует полином , который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от f(x), в том смысле, что , где Q_n(x)- произвольный полином n-й степени. Ясно, что .

Теперь докажем, что при . Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса (1885), которая гласит:

если f(x) непрерывна в конечном замкнутом интервале [a,b], то всякому можно сопоставить полином P_n(x) степени n=n( ), для которого во всём интервале [a,b] имеет место неравенство .

Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С.П.Бернштейна.

Для этого построим полином , и докажем, что равномерно во всём интервале [0,1] . Напишем тождества:

(1); ;

, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения:

. Из написанных тождеств вытекает, что (2).

Умножая (1) на f(x) и отнимая B_n(x), получим, что

, где суммирование в распространено на те значения к, для которых , а суммирование в - на остальные значения к.

Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0,1], и, значит, ограничена: во всём этом интервале, то

А это выражение на основании (2): , с другой стороны, , где , и, значит, при .

Окончательно: , что и доказывает теорему Вейерштрасса.

Заметим, что если P_n(x) равномерно стремится к f(x) при , то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд.

Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a,b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся при ряд, члены которого- полиномы.

10

11

12 П усть функция z = f(x;y) определена в некоторой окрестности точки M₀(x₀;y₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число A называется пределом функции z = f(x;y) при x x₀ и y y₀ (или, что то же самое, при M(x;y) M₀(x₀; y₀)), если для любого E > 0 существует Y(гамма) > 0 такое, что для всех x≠x₀ и y≠y₀ и удовлетворяющих неравенству √(x – x₀)² + (y – y₀)² < Y(гамма) выполняется неравенство |f(x;y) – A| < E. Записывают:

А = lim f(x; y) или А = lim f(M)

Теорема (единственность предела): Если функция f в точке а имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство: метод от противного lim x→ a f(x)=b , lim x → a f(x)=c , b/=c . Возьмем ε=∣b−c∣ , по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т. а Uo(a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣f(x)−b∣<2∣b−c∣∣f(x)−c∣<2∣b−c∣ , тогда в точках этой же окрестности ∣b−c∣=∣(b−f(x))+(f(x)+c)∣≤∣f(x)−b∣+∣f(x)−c∣<2∣b−c∣+2∣b−c∣=∣b−c∣ противоречие (от неправильно допущения).

«Замечательные» пределы:

13 1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать:  и  . Следовательно,  , где  - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать  , или  .