- •1. Случайные величины, их математические ожидания. Свойства математических ожиданий.
- •2. Случайные события, их вероятности. Основные свойства вероятностей.
- •3. Правило сложения вероятностей. Вероятность в классической модели.
- •4. Условные математические ожидания и условные вероятности. Правило умножения вер-тей
- •5. Независимость случайных величин и событий.
- •6. Дисперсия случайных величин, свойства дисперсии.
- •7. Характеристики системы случайных величин: центр распределения и матрица ковариаций. Связь между понятиями независимости и некоррелированности.
- •9. Непрерывные распределения вероятностей. Функция плотности вероятностей, ее свойства и применение. Функция распределения вероятностей, ее свойства и применение.
- •17. Проверка гипотез о дисперсии. Распределение Фишера.
- •18. Задача регрессии. Отыскание оценок параметров регрессии методом наименьших квадратов в случае линейной зависимости от параметров.
- •23. Метод максимального правдоподобия
1. Случайные величины, их математические ожидания. Свойства математических ожиданий.
X |
х 1 |
х 2 |
… |
х n |
P |
p 1 |
p 2 |
… |
p n |
Где хi упорядочены по возрастанию,
х1< x2<…<xn и pi=P(X=xi). Так как события Х=хi образуют полную группу, то , что служит часто проверкой правильности вычисления pi.
Случайные величины могут описываться числовыми хар-ками, среди к-х различают характеристики положения(в частности мат.ожидание). Математическое ожидание М(Х) представляет собой среднее ожидаемое значение случайно величины. Если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа взаимно исключающих друг друга возможных исходов w1,w2,…,wn с вероятностями Р(wi)=pi(i=1,2,…,N; то м.о. сл.вел. Х=Х(w) выч.по ф-ле: М(Х)= а вероятность случ. события А- по ф-ле: Р(А)=М(IA)= (wi A), где IA-индикатор события А, т.е. случ. величина, принимающая значение 1 при wi A и значение 0 при wi не А.
Св-ва мат. ожидания ДИСКР.сл.в.:1) М(С)=С, где С=const; 2) М(СХ)=СМ(Х); 3) М(Х+У)=М(Х)+М(У) для любых сл.вел. Х и У; 4) М(ХУ)=М(Х)*М(У), если Х и У независимы. Т.О. если случ. вел.Х представлена в виде лин. комбинации величин Х1,Х2,…,ХL, то ее м.о. выч-ют, пользуясь св-вом линейности:
М(Х)=М . Если известна табл. распредел. Дискретной сл.вел., то м.о. любой ее ф-ции можно вычислить по ф-ле: М(f(X))= .
Непрерывной наз-ют случ.величину, к-я может принимать все значения, из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной сл. величины бесконечно. (строгое определение: случ.вел. наз-ся непрерывной, если мат.ожиание любой функции g(X) можно записать в виде:* . Под любой ф-ей g(x) имеется ввиду такая, для которой интеграл* сущ-ет и сходится абсолютно
Св-ва мат. ожидания НЕПРЕРЫВНОЙ.сл.в.: M(X) = ;
Статистич. Смысл М.О.: пусть pi=P{X=xi}, ; проводя n независимых повторений опыта S, причем X=xi в ni случаях (i=1,2,…,m) .Тогда Хср=1\n при n→ . Естественно принять это значение за теоретическое среднее величины Х в эксперименте S.
ni\n-частота повторения события {X=xi}
M.O. дискр. сл.вел. наз-ся сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. M(X)= .
Свойства М.О.(Л)
1. Если в- неслучайная величина, то М(в)=в. ДОК-ВО: М(в)=в*1=в(рассм. Пост.величину как дискретную случ. величину, принимающую одно и то же значение с вероятностью р=1)
2. Если а- неслуч. вел., т.е. явл-ся константой, то М(ах)=аМ(х) ДОК-ВО: М(аХ)= .
3. М.о. суммы двух случ. величин равно сумме мат. О. слагаемых(св-во линейности) М(Х+Н)=М(Х)+
М(У) ДОК-ВО: пусть Х принимает значения Хi(i=1,2,…,n) с вероятностью pi, сл-но величина У принимает значения Уi (i=1,2,…,n) с вероятностью qi. Событие, состоящее в том, что сл. величина Х примет значения xi (i=1,2,…,n) с вероятностью pi влечет за собой событие, к-е состоит в том, что сл. вел. Х+У примет значения xi+y1,…xi+yk (i=1,2,…,n), вероятность которого по т. О сложении вер-тей
pi1+…+pik=pi. Аналогично, qj=p1j+…+pnj
M(X+Y)=(x1+y1)p11+(x1+y1)p12+…+(x1+yk)p1k+(x2+y1)p21+(x2+y2)p22+…+(x2+yk)p2k+…+(xn+
+y1)pn1+(xn+y2)pn2+…+(xn+yk)pnk=x1(p11+p12+…+p1k)+x2(p21+p22+…+p2k)+…+xn(pn1+pn2+.)=
=x1p1+x2p2+…+xnpn+y1q1+y2q2+…xnpn+y1q1+y2q2+ykqk=M(X)+M(Y)
4. Случ. вел. Х и У наз-ся НЕЗАВИСИМЫМИ, если для любых ф-циё f(x) и g(x) → М(g(X)*f(Y))=
=M(g(X))*M(f(Y)). Ни какая инфа об одной с.в. не влияет на значение др. В частности, М(ХУ)=М(Х)*М(У). По определению, М(g(X))= pi=P{X=xi}
5. М.о. произведения нескольких независимых случ. величин равно произведению их мат. ожиданий;
6. М.о. суммы нескольких случ. величин равно сумме их мат. ожиданий.
7. М(
Вероятностный смысл М.О.: среднее арифметическое с учетом вероятности.
Замечание:
1) М.О. дискр. сл.вел.- это неслучайная вел.(константа)
2) М.О. больше наименьшего и меньше наибольшего из возм-х значений сл.вел., то есть на числовой оси возм-е значения располагаются слева и справа от М.О. В этом смысле м.о. хар-ет распределение случ.вел. и поэтому наз-ся центром распределения.
3) М.О.-число, около к-го группируется ср.арифметическое в большой серии измерений. (пример:измерение какого-либо предмета. М.