Математический Анализ
Лекция 1
Определение 1
Пусть дана числовая последовательность u1, u2, u3, …un,… выражение вида u1+u2+u3+..+un…= называется числовым рядом или просто рядом. При этом числа u1, u2, u3, …un,… называются членами ряда , а un называется общим членом ряда.
Ряд называется заданным, если известен его общий член, то есть если задана функция F(n) от натурального аргумента n.
Определение 2
Сумма n первых членов ряда Sn называется n-ой частичной суммой ряда.
Замечание !
Так как число членов ряда бесконечна, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм.
S1, S2, S3,…Sn,…
Определение 3
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм т.е. =S.
При этом число S называется суммой ряда и пишут вида u1+u2+u3+..+un…=S или =S
Определение 4
Геометрическим рядом называется ряд , составленный из членов геометрической прогрессии:
a+aq+aq2+aq3+…aqn-1 +…= , где а
Вывод
Геометрический ряд сходится к сумме , при и расходится при .
Свойства сходящихся рядов
Если ряд u1+u2+u3+..+un…сходится и имеет сумму S , то и ряд
au1+au2+au3+…+aun…, который получился путем умножения данного ряда на число а. Также сходится и имеет сумму аS.
Если ряды u1+u2+u3+..+un… и v1+v2+v3+…+vn+… сходится и их суммы соответственно равны S1 и S2
Определение 5
Ряд un+1+un+2+un+3+… ,полученный из ряда суммы по , путем отбрасывания его первых n членов называется n-ым остатком ряда и обозначается символом Rn.
Замечание
Сумму S можно представить в виде S=Sn+Rn, где
Sn - n-ая частичная сумма ряда
Rn – n-ый остаток ряда
Теорема 1
Ряд и любой его остаток одновременно сходятся , либо одновременно расходятся .
Теорема 2(Необходимый признак сходимости)
Если ряд сходится, то предел его общего члена стремится к нулю, то есть
Замечание
Для вычисления пределов числовых последовательностей (функций натурального аргумента) часто применяют следующую теорему.
Теорема 3(О “Погружении" дискретного аргумента n в непрерывный (x) )
Если существует и равен А, то также существует и равен А.
Лекция 2
Теорема 1 (1-ый признак сходимости)
Пусть даны 2 ряда с положительными членами и ,
Причем каждый член первого ряда не превосходит соответствующего члена второго ряда т.е. (n=1,2,3,…), тогда:
Если сходится ряд , то сходится и
Если расходится ряд , то расходится и ряд
Замечание
Этот признак остается в силе, если неравенство . выполняется не при всех n, а лишь с некоторого номера n=N
Замечание!
В качестве рядов для сравнения часто используют следующие ''эталонные '' ряды.
Геометрический ряд , который сходится при и расходится при
Гармонический ряд , который расходится
Обобщенный гармонический ряд (Ряд Дирихле) , который сходится при и расходится при
Теорема 2 ( 2ой предельный признак сравнения )
Пусть 2 ряда с положительными членами и и существует конечный предел отношения их общих членов
, то ряды одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.
Теорема 3 (Признак Даламбера)
Если дан ряд с положительными членами и существует предел тогда
Ряд сходится, если
Ряд расходится, если
Замечание
Если D=1, то ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью других признаков.
Теорема 4 (Признак Коши)
Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел , тогда
Ряд сходится, если
Ряд расходится, если
Замечание
Если C=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Теорема 5 (Интегральный признак Коши)
Пусть функция f(x) на промежутке удовлетворяет условиям
Положительна
Убывает
Непрерывна
Тогда ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся либо одновременно расходятся.
Замечание
Интегральный признак остается в силе, если нижний предел в несобственном интеграле равен а ( )
Определение 1
Пусть n некоторое натуральное число, тогда число называется n факториал. При этом по определению полагают
Лекция 3
Определение 1
Знакочередующимся рядом называется ряд в котором члены попеременно, то положительны, то отрицательны .То есть ряд вида:
u1-u2+u3-u4+u5-…+ +…= , где
(n=1,2,3,…)
Теорема 1 (Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда)
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывает, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие 2 условия :
Замечание
Признак Лейбница справедлив, если неравенство
выполняется с некоторого N.
Определение 2
Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременными.
Замечание
В знакопеременном ряде члены могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольна, при этом знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема 2(Признак сходимости знакопеременного ряда)
Если ряд сходится, то сходится и ряд
Замечание
Из сходимости ряда не следует (вообще говоря) сходимости ряда
Определение 3
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящейся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов.
Определение 4
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из абсолютных величин его членов расходится.
Замечание
Так как ряд, составленный из абсолютных величин, является рядом с положительными членами, то для исследования вопросов о его сходимости можно применять рассмотренные ранее в лекции 2 признаки сходимости, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши.
Метод математической индукции
Пусть N множество натуральных чисел и A(n) некоторое зависящее от
утверждение, от если
Доказано, что утверждение А(1) верно
При условии, что утверждение А(n) верно для некоторого n, доказано что утверждение, от A(n+1) также верно
Тогда утверждение A(n+1) верно для всех