- •Электрический заряд и его свойства. Электрическое поле. Напряженность и индукция электрического поля. Закон Кулона. Теорема Гауса.
- •Напряженность электрического поля точечного заряда.Принцип суперпозиции.Примеры расчета электрического поля распределенных зарядов.
- •1.6. Электрическое поле диполя
- •8. Иэлектрики в электрическом поле
Напряженность электрического поля точечного заряда.Принцип суперпозиции.Примеры расчета электрического поля распределенных зарядов.
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, которая действует на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля: (1) Как следует из формулы (1) и закона Кулона, напряженность поля точечного заряда в вакууме или (2) Направление вектора Е совпадает с направлением силы, которая действует на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис. 1). Из формулы (1) следует, что единица напряженности электростатического поля — ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл= 1 В/м, где В (вольт) — единица потенциала электростатического поля.
Рис.1
Графически электростатическое поле представляют с помощью линий напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис. 2). Линиям напряженности задается направление, которое совпадает с направлением вектора напряженности. Поскольку в любой данной точке пространства вектор напряженности имеет только одно направление, то линии напряженности не могут пересекаться.
Если поле образовано не одним зарядом, а несколькими, то силы, действующие на пробный заряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и напряженность системы зарядов в данной точке, поля равна векторной сумме напряженностей полей от каждого заряда в отдельности.
|
(13.3) |
Согласно принципу суперпозиции электрических полей можно найти напряженность в любой точке А поля двух точечных зарядов и (рис. 13.1). Сложение векторов и производится по правилу параллелограмма. Направление результирующего вектора находится построением, а его абсолютная величина может быть подсчитана по формуле
4. Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля, определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, = Wп / q, откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).
Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа
dA = F dl = q E dl cos (E, dl).
При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна
.
Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого
.
Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:
|
Для электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2,, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:
.
Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q.
Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичногоположительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:
Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.
.
Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силамиконсервативными, а само поле - потенциальным.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Qi (i = 1, 2, ... ,n). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением
,
где rij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.
5. Используя выведенные нами дифференциальные соотношения, описывающие свойства электростатического поля и ,
сформулируем уравнение, которое находит применение во многих разделах физики. Поскольку градиент функции представляет собой векторную функцию, то к нему можно применить операцию дивергенции:
div E = div grad ,
в декартовых координатах
где 2 оператор Лапласа, являющийся суммой вторых производных по координатам. Так что с учетом теоремы Гаусса
.
Это и есть уравнение Пуассона. Уравнение Пуассона является дифференциальным эквивалентом интегрального соотношения, по которому вычисляется потенциал. В тех областях пространства, где заряды отсутствуют (или = 0), оно превращается в уравнение
,
называемое уравнением Лапласа. В большинстве случаев классическая теория поля занимается исследованием решений этого уравнения. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, относятся к классу гармонических функций.
6.
7. Совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов q, расположенных на некотором расстоянии друг от друга, малом по сравнению с расстоянием до рассматриваемой точки поля называется электрическим диполем.(рис.13.1)
Произведение называется моментом диполя. Прямая линия, соединяющая заряды называется осью диполя. Обычно момент диполя считается направленным по оси диполя в сторону положительного заряда.