- •Доказательство теорем.
- •- Подпространство .
- •2. Свойства. Пусть V – евклидово пространство. Тогда
- •4. Свойства эрмитова произведения. , , V, ℂ
- •5. Свойства длины вектора: V
- •4. Теорема (критерий ортогональности векторов).
- •1.3) Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
- •1.4) Уравнение прямой в отрезках на осях
- •1.5) Общее уравнение прямой
- •Раздел 5
- •Раздел 6:
2. Свойства. Пусть V – евклидово пространство. Тогда
10. , , V ( + ) = +
Доказательство.
( + ) = ( + ) = + = +
20. ℝ, , V (λ ) = λ ( )
Доказательство.
(λ ) = (λ ) = λ( ) = λ ( )
30. V = (0 ) = 0( ) = 0.
Доказательство. Следует из леммы 1.
Лемма1. Пусть V – вещественное пространство со скалярным умножением. Тогда = =0 V .
Доказательство. = + ( + ) = + . = + 0. Тогда + = + 0. По закону сокращения получим = 0. ЧТД.
3. Теорема . Пусть V – комплексное n-мерное векторное пространство. Тогда на V существует эрмитово произведение.
Доказательство. Т.к. V – n-мерное пространство, то в V существует базис, состоящий из n векторов.
Пусть базис V. Тогда , V , . Зададим отображение V Vℂ по правилу = .
Покажем, что оно является эрмитовым произведением.
а) С учетом свойств комплексно-сопряженных чисел, получим
=
= = = = =
б) Пусть V . Тогда ( + ) = = + = +
в) ℂ :
(λ ) = = = = λ( )
г) = = = , где ℝ, , причем =0 , =
4. Свойства эрмитова произведения. , , V, ℂ
10. ( + ) = +
Доказательство.
( + ) = = = + ч.т.д
20. (λ ) =
Доказательство.
(λ ) = = ч.т.д
30. = = 0.
Доказательство.
= ( + ) = +
= + 0 + = + 0 = 0. ч.т.д
5. Свойства длины вектора: V
10. | | 0, причем | | = 0 =
Доказательство.
Евклидово пространство: | | = ≥0, т.к. по определению 1, причем | | = 0 =0 = .
Унитарное пространство: | | = 0, т.к. по определению 5, причем | | = 0 =0 = .
20. Если ℂ, то |λ | = |λ|| |
Доказательство.
|λ | = , где
6. Теорема . Пусть V – n–мерное евклидово пространство, или унитарное пространство. Тогда любая система ненулевых ортогональных векторов из V линейно – независима.
Доказательство.
Пусть (1) – ортогональная система ненулевых векторов из V. Покажем, что (1) линейно независима.
Рассмотрим линейную комбинацию (2).
Умножим скалярно обе части неравенства (2) на вектор , : .
По свойству билинейности получим:
По условию, система (1) ортогональна. Тогда . Т.к. , значит =0 .
Т.о., система (1) линейно – независима. ч.т.д.
7. Теорема . Пусть V – n–мерное евклидово или унитарное пространство. Тогда любая ортогональная система ненулевых векторов из V может быть дополнена до ортогонального базиса.
Доказательство. Пусть (1) - ортогональная система не нулевых векторов из V. По теореме 5 , система (1) линейно независима. Значит, систему (1) можно дополнить до базиса V.
Пусть (2) – базис векторного пространства V. Подправим базис (2) так, чтобы из него получился ортогональный базис. Подправим вектор следующим образом:
заменим вектором , таким, что ортогонален векторам :
= (3), причем будем полагать, что выбраны так, что вектор ортогонален всем предыдущим векторам системы (2).
Найдем коэффициенты равенства (3). Для этого умножим скалярно обе части равенства (3) на :
= = ,
, (4)
Формула (4) позволяет найти вектор , который ортогонален всем векторам , т.е. , - ортогональные векторы.Отметим, что согласно теореме 2, , линейно независима. Значит, . Т.о. , - ортогональная система ненулевых векторов.
Применим этот процесс – процесс ортогонализации – к вектору , т.е. заменим его вектором , который будет ортогонален векторам , .
Продолжая этот процесс, через конечное число шагов получим , ,…, ортогональный базис V. ч.т.д.
8. Теорема . V – n- мерное евклидово пространство, … - ортонормированный базис V. Тогда скалярное умножение относительно этого базиса является стандартным, т.е если , V, = , = , причем =
Доказательство. Пусть , V, = , = = = ( + ) ( ) = + + + +…+ = = = =
Раздел №3.
1. Теорема . Множество всех векторов в пространстве образует абелеву группу относительно операции сложения векторов.
Доказательство. Множество всех векторов замкнуто относительно операции сложения, так как сумма векторов по определению 8 является вектором.
Ассоциативность:
Пусть , , . По определению 8,
, ассоциативность доказана.
2. Существует нейтральный элемент (см. опр.6), такой что
3. существует противоположный вектор (см. опр.7) ,
такой что
4. Коммутативность операции сложения
, (1) см рис. 6.
Отложим теперь . Тогда OABC – параллелограмм. Отсюда .
Тогда (2). Из (1) и (2) следует . Теорема доказана.
2. Теорема . Пусть на плоскости даны два неколлинеарных вектора и . Любой вектор на плоскости можно представить в виде , где Î ℝ, причем такое представление единственно.
Доказательство. I . Существование. Если или , то || , что противоречит с условием, следовательно, и .
Если || , то , для некоторого Î ℝ (см. опр.9) и искомое разложение вектора .
Если || аналогично существует Î ℝ: , т.е. .
Если ∦ и ∦ , отложим , , от одной точки O. Пусть .
Проведем прямые AP и AQ, такие что || AQ и || AP Тогда || , следовательно, = , || , следовательно, = для некоторых Î ℝ.
- искомое разложение.
II. Единственность. Пусть , где, например, , тогда, вычитая почленно, получим , где . Далее, ,
| :
, откуда следует по опр.9, что || , противоречие условию. Теорема доказана.
Аналогично доказывается
3. Теорема. Пусть в аффинной системе координат {O, , , } векторы заданы своими координатами , , тогда умножение вектора на скаляр и сложение векторов производится покоординатно, т.е.
1.
2.
Доказательство.
1. Так как , то (т.2) , т.е.
2. Так как , то + =(т.1, т.2)= , то есть