1. Пространство элементарных событий ω. Примеры постро­ения ω.

Случайного событие, которое при осуществлении не­которых условий может как произойти, так и не произойти. Например как однократное подбрасы­вание монеты. Он имеет два взаимно исключающих исхода: выпадение герба (Г) и выпадение «решетки» (Р). Эти исходы являются случайными: невозможно заранее определить, какой из них осуществится в результате опыта.

Предположим, что в результате некоторого опыта происхо­дит один из взаимно исключающих друг друга исходов, кото­рые мы будем обозначать Ω и называть элементарными со­бытиями.

Определение. Совокупность всех элементарных со­бытий (ω обозначим через Ω. и будем называть пространст­вом элементарных событий.

Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Описать про­странство элементарных событий Ω.

Решение. Обозначим через Г выпадение герба, а через Р - выпадение «решетки». Тогда

Ω = {(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}.

2. Основные операции над событиями. Алгебра событий. Достоверные, противоположные, несовместные события. Примеры.

Событием А называется любое под­множество пространства элементарных событий Ω: À € Ω.

Пример Монета подбрасывается три раза.описать события А — (вы­пало ровно две "решетки") и В = (выпало не менее двух "ре­шеток").

Решение. Исходя из построенного Ω({(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}.). получаем А = {(РРГ), (РГР),(ГРР)}, А = {(РРГ),(РГР),(ГРР),(РРР)}.

Операции над событиями

1. Суммой А+В событий А и В называется объединение множеств

À U Â. Событие А +В состоит в том, что произошло по крайней мере одно из событий А или В.

2. Произведением АВ событий А и В называется пересече­ние множеств À n  . Событие АВ происходит тогда, когда происходит и А, и В.

3. Разностью А\В событий А и В называется множество эле­ментов А, не входящих в В. Событие А \В состоит в том, что А произошло, а В - нет.

Определение. Пусть Ω - пространство элементарных событий, a F - некоторый класс подмножеств Ω. F называется алгеброй событий, если для любого А , В е F

A + B € F, AB € F, A\B € F

Примером алгебры событий может служить множество всех

подмножеств Ω.

Основные типы событий

1. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, то есть событие, совпадающее со всем Ω.

2. Невозможным называют событие, которое не может про­изойти, то есть событие Ø.

3. Событие Ā называется противоположным (дополнитель­ным) к А, если Ā = Ω\А.

4. События А и В называются несовместными, если их про­изведение является невозможным событием, то есть если АВ=Ø.

Пример. Имеется партия деталей, некоторые из которых бракованные. Произвольно выбираются три детали. Пусть А1, А2 и A3 события, соответствующие тому, что отсутствует брак у первой, второй, третьей детали. Выразим через эти со­бытия следующие:

а) все детали без брака = а1А2А3;

б) все детали имеют брак = Ā₁Ā₂Ā₃;

в) первая деталь бракованная, вторая и третья - нет = Ā₁а₂а₃,

г) только одна из деталей имеет брак = ⁼ Ā₁а₂а₃ + а₁ Ā₂а₃ + а₁а₂ Ā₃;

д) ровно две детали имеют брак = Ā₁ Ā ₂А₃ + а₁ Ā ₂ Ā₃+ Ā₁ а₂ Ā₃

е) хотя бы две детали имеют брак = Ā₁ Ā ₂А₃ + а₁ Ā ₂ Ā₃+ Ā₁ а₂ Ā₃+ Ā₁Ā₂Ā_3.