3. Диференціальне рівняння рівноваги рідини

Диференціальні рівняння рівноваги рідини можна одержати у разі, коли на рідину діє не тільки сила тяжіння, але й інші масові сили, наприклад, сили інерції переносного руху при так званому відносному спокої. У нерухомій рідині візьмемо довільну точку М з координатами x, у і z і тиском р. Виділимо в рідині елементарний об'єм у формі прямокутного паралелепіпеда з ребрами, паралельними координатним осям і відповідно рівними dx, dy і dz, а точка М буде однією з вершин виділеного паралелепіпеда (рис.2.3). Розглянемо умови рівноваги виділеного об'єму рідини. Хай у виділеному об'ємі на рідину діє результуюча масова сила, складові якої, віднесені до одиниці маси, рівні X, Y і Z. Тоді масові сили, що діють на виділений об'єм у напрямку координатних осей, будуть рівні цим складовим, помноженим на масу виділеного об'єму.

Рис. 2.3. До виводу диференціальних рівнянь рівноваги рідини

Тиск р є функція координат x, у і z, але поблизу точки М по всім трьом граням паралелепіпеда воно однакове, що витікає з доведеної вище властивості гідростатичного тиску. При переході від точки М, наприклад, до точки N змінюється лише одна координата х на нескінченно малу величину dx, у зв'язку з чим функція р одержує приріст, рівний часному диференціалу .

Тому тиск в точці N буде рівний , де - градієнт тиску поблизу точки М у напрямку осі х.

Розглядаючи тиск в інших відповідних точках граней, нормальних до осі х, наприклад, в точках N^/ і M^/ видно, що цей тиск різниться на однакову величину, рівну

.

Зважаючи на це різниця сил тиску, що діють на паралелепіпед у напрямку осі х, буде рівна вказаній величині, помноженій на площу граней, тобто

.

Аналогічним чином, але через градієнти тиску і , виразяться різниці сил тиску, що діє на паралелепіпед у напрямку двох інших осей.

На виділений паралелепіпед діятимуть лише вказані масові сили і різниці тиску. Тому рівняння рівноваги паралелепіпеда у напрямку трьох координатних осей запишуться в такому вигляді

(2.6)

Розділимо ці рівняння на масу паралелепіпеда dxdydz і перейдемо до межі, спрямовуючи dx, dy і dz до нуля, тобто стягуючи паралелепіпед до початкової точки М. Тоді в межі одержимо рівняння рівноваги рідини, віднесені до точки М.

(2.7)

Система диференціальних рівнянь гідростатики називається рівняннями Ейлера.

 

4. Прикладні питання гідростатики

4.1. П'єзометрична висота

П'єзометрична висота, рівна , є висотою стовпа даної рідині, відповідна даному тиску р (абсолютному або надлишковому). П'єзометричну висоту, відповідну надмірному тиску, можна спостерігати в так званому п'єзометрі показаному на рис.2.4, простому пристрої для вимірювання тиску. П'єзометр є вертикальною скляною трубкою, верхній кінець якої відкритий в атмосферу, а нижній приєднаний до того об'єму рідини, де вимірюється тиск.

Застосовуючи формулу (2.3) до рідини, що міститься в п'єзометрі, одержимо

,

де р_абс - абсолютний тиск в рідині на рівні приєднання п'єзометра; р_а - атмосферний тиск.

Звідси висота підйому рідини в п'єзометрі рівна

(2.8)

де р_над - надлишковий тиск на тому ж рівні.

Рис. 2.4.	Рис. 2.5.

Очевидно, що якщо на вільну поверхню рідини, що перебуває в спокої, діє атмосферний тиск, то п'єзометрична висота для будь-якої точки даного об'єму рідини рівна глибині розташування цієї точки. Часто тиск в рідинах або газах чисельно виражають у вигляді відповідної цьому тиску п'єзометричної висоти за формулою (2.6).

Наприклад, одній технічній атмосфері відповідає:

м.вод.ст.

м.рт.ст.